l'equation fonctionnelle du mois

vu que le problème de Novembre a déjà été résolu je propose cette equa fonctionnelle que je trouve tres joli
soit f:N->N tel que f(1)>0 et f(m^2+n^2)=(f(m))^2+(f(n))^2
trouver toute les fonction f qui vérifie ces propriétés .
BONNE CHANCE

Bonjour,
f est definie de N vers N donc f(n) >= 0
pour m=n=0 f(0)=2f(0)² ==> f(0) = 0
pour n = 0 f(m²) = f²(m) (!) ==> pour m = 1 f(1) = f²(1) ==> f(1) = 1
m=n f(2m²) = 2f²(m) (!!)
(!) f(m) = racine ( f(m²) ) donc f(m²) = a² ( f(m)² doit etre un carré parfait et a appartient a N)
donc f(m) = a
(!!) f(m) = racine ( f(2m²) /2 ) donc f(2m²) = 2 a² et f(m² + 1 ) =m² + 1
conclure m = a soit f(m) =m pour m de N et on verrifie que bel et bien f(m) = m est une solution .
vos avis ??

je ne vois pas pourquoi f(m^2 +1)=m^2 +1 ??

plutot f(m² + 1 ) = a² + 1 pour n = 1

alors comment tu conclue que m=a ?? ^^

P(m,n) :   f(m²+n²)=f(m)²+f(n)²
P(0,0)  :   f(0)=2f(0)² ==> f(0)=0 car f(0) entier
P(1,0)  :   f(1)=f(1)² et f(1)>0 ==> f(1)=1
P(m,0):  f(m²)=f(m)²
P(1,1) :    f(2)=2
P(2,0) :    f(2²)=f(2)² ==> f(2²)=2²
supposons f(2^j)=2^j pour tout  0=< j =<i  où  i>1
si i pair,  P( 2^(i/2), 2^(i/2)) : f(2^(i+1))=2f(2^(i/2))²=2f(2^i)=2^(i+1)
si impair, P( 2^((i+1)/2), 0) :   f(2^(i+1))=f(2^((i+1)/2))²=2^(i+1)  car (i+1)/2 <i
Donc  f(2^i)=2^i  qqs i dans N
.....

Je ne vois pas comment on peut conclure grace a cette methode que f(n)=n

P(m,n) : f(m²+n²)=f(m)²+f(n)²
P(0,0) : f(0)=2f(0)² ==> f(0)=0 car f(0) entier
P(1,0) : f(1)=f(1)² et f(1)>0 ==> f(1)=1
P(m,0): f(m²)=f(m)²
P(m,1): f(m²+1)=f(m)²+1
P(m,m): f(2m²)=2f(m)²
==> f(2)=2 , f(4)=4, f(5)=f(2²+1)=5
f(25)=f(9+16)=f(3)²+f(4)²=25 ==> f(3)=3
de la même façon on montre que f(6)=6, ...., f(12)=12
Par récurrence :
Supposons que pour tout k =<2n , f(k)=k pour un certain n>=6
(2n + 1)² + (n − 2)² = (2n − 1)² + (n + 2)²
==> f(2n + 1)² + f(n − 2)² = f(2n − 1)² + f(n + 2)²
mais n − 2=<2n , 2n − 1=<2n et n + 2=<2n ==> f(2n+1)=2n+1
(2n + 2)² + (n − 4)² = (2n − 2)² + (n + 4)²
==> f(2n + 2)² + f(n − 4)² =f(2n − 2)² + f(n + 4)²
mais n − 4=<2n , 2n − 2=<2n et n + 4=<2n ==> f(2n+2)=2n+2

Bien joue mr attioui j avais pas pense a cette methode j en avais trouve une autre utilisant les carre de fermat.