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 un exercice que je trouves difficile

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soukaina ella
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Féminin Nombre de messages : 5
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Localisation : marrakech
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MessageSujet: un exercice que je trouves difficile   Dim 06 Oct 2013, 08:54

une autre méthode pour résoudre cet exercice s'il vous plait
Exercice 89:
Soient f et g de fonction de [0;1] vers [0;1] tq f et g sont continues sur [0;1] .
on suppose que pour tout x€[0;1] fog(x)=gof(x)
Prouver qu'il existe a €[0;1] tq; f(a)=g(a)
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nmo
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Masculin Nombre de messages : 2221
Age : 23
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: un exercice que je trouves difficile   Sam 12 Oct 2013, 19:03

soukaina ella a écrit:
une autre méthode pour résoudre cet exercice s'il vous plait
Exercice 89:
Soient f et g de fonction de [0;1] vers [0;1] tq f et g sont continues sur [0;1] .
on suppose que pour tout x€[0;1] fog(x)=gof(x)
Prouver qu'il existe a €[0;1] tq; f(a)=g(a)
Je propose une solution connue de ce problème:
Notons I=][.
Soit la fonction: .
Puisque f et g sont deux fonctions continues, h l'est aussi.
On suppose que: .
Puisque h est continue, elle doit garder un signe constant.
On suppose par symétrie de f et g que: .
Et puisque f et g sont continues, .
***On démontre que .
Le résultat se démontre par récurrence.
-L'initialisation est une donnée du problème.
-On suppose que pour un certain rang , on a: .
Et démontrons que: .
On a: .
Donc .
Et par conséquent: .
-Conclusion de la récurrence: .
De même, on démontre que: .
***On démontre que: .
-L'initialisation est triviale.
-On suppose que pour un certain entier n, on a .
Et démontrons que: .
On a .
Or, .
Des deux inégalités précédantes, on déduit que: .
-Conclusion de la récurrence: .
***Trouvons une absurdité, et concluons:
On a f est continue sur I, donc bornée et atteint ses bornes.
Il existe donc un réel M tel que .
Ainsi: .
En faisant tendre n vers , absurde!
Ce qu'on a supposé est donc faux.
Ainsi, .
CQFD.
Sauf erreurs.
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soukaina ella
Débutant


Féminin Nombre de messages : 5
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Localisation : marrakech
Date d'inscription : 05/10/2013

MessageSujet: Re: un exercice que je trouves difficile   Mar 15 Oct 2013, 12:54

merci beaucoup
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nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2221
Age : 23
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: un exercice que je trouves difficile   Mar 05 Nov 2013, 23:20

soukaina ella a écrit:
une autre méthode pour résoudre cet exercice s'il vous plait
Exercice 89:
Soient f et g de fonction de [0;1] vers [0;1] tq f et g sont continues sur [0;1] .
on suppose que pour tout x€[0;1] fog(x)=gof(x)
Prouver qu'il existe a €[0;1] tq; f(a)=g(a)
Je propose une autre solution (moins détaillée que la première) de ce problème:
Il est clair que f admet un point fixe, noté .
On peut supposer par absurde et par symétrie de f et g que: .
Il est facile de démontrer que la suite définie par: est décroissante et minorée, donc convergente.
Notons sa limite.
On a d'un coté: . Donc . (2)
Et d'autre part, on a: . Donc . (1)
De 1 et 2, on trouve que et cela contredit la supposition.
D'ou: .
CQFD.
Sauf erreurs.
P.S: tous ces résultats sont démontrables par récurrence, excepté le premier.
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soukaina ella
Débutant


Féminin Nombre de messages : 5
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Localisation : marrakech
Date d'inscription : 05/10/2013

MessageSujet: Re: un exercice que je trouves difficile   Jeu 14 Nov 2013, 20:38

celle est bien facile que l'autre merci pour votre aide
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