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 Bijection.

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4 participants
AuteurMessage
Mohammed_Lahlou
Maître



Masculin Nombre de messages : 79
Age : 28
Localisation : Tanger
Date d'inscription : 21/07/2012

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MessageSujet: Bijection.   Bijection. EmptySam 09 Nov 2013, 18:36

Bonsoir,
Démontrer que toute bijection f : lR --> lR+, a une infinité de points de discontinuité.
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aymas
Maître



Masculin Nombre de messages : 168
Age : 27
Localisation : tanger
Date d'inscription : 07/02/2012

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MessageSujet: Re: Bijection.   Bijection. EmptySam 09 Nov 2013, 19:47

Il parait qu'il y a quelque chose qui ne vas pas dans l'enonce car la fonction exp satisfait les conditions mais elle est continue.
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legend-crush
Expert sup
legend-crush


Masculin Nombre de messages : 545
Age : 26
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 25/12/2012

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MessageSujet: Re: Bijection.   Bijection. EmptySam 09 Nov 2013, 22:06

aymas a écrit:
Il parait qu'il y a quelque chose qui ne vas pas dans l'enonce car la fonction exp satisfait les conditions mais elle est continue.
exp n'est pas une bijection car 0 n'a pas d'antécedant.
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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Re: Bijection.   Bijection. EmptyMar 12 Nov 2013, 12:31

Mohammed_Lahlou a écrit:
Bonsoir,
Démontrer que toute bijection  f : lR --> lR+, a une infinité de points de discontinuité.
Joli exercice !

Soit A={x dans IR / f est discontinue en x}
Soit a l'unique réel : f(a)=0

Si A est vide, alors f est continue sur IR et comme elle est injective alors f est strictement monotone.
si f croissante ==> f(x)=0 qqs x<a, absurde avec f surjective
de même si f décroissante ==> f(x)=0 qqs x>a, absurde avec f surjective

Si A fini, A={a1,a2,...,an} avec a1<a2<...<an,
f est continue sur ]-00,a1[, ]a1,a2[,..., ]an,+00[ et injective ===> f est strictement monotone sur chacun de ces intervalles
La surjectivité ==> f à la même monotonie sur chacun de ces intervalles
(par récurrence : commencer par exemple par ]-00,a1[ puis remarquer que la monotonie devait être le même sur deux intervalles consécutifs)
On termine alors comme le 1er cas
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