Exercices Applications

Voici un exercice d'applications, je suis pas sur de ma solution. Si vous avez des remarques ou des astuces n'hesitez pas .

Ma solution:

On a pas encore fini le cours en classe mais je connais un peu des choses sur les applications. et je trouve ma solution beaucoup trop longue ( si vous avez des remarques )!!

1) Supposons f(E\A)=F\f(E), pout toute partie A de E, nous allons montrer que f est bujective.
Soient x1, x2 deux element different de E , alors x2 appartient à E\{x1} . mais d'apres l'hypothèse f(E\A)=F\f(E), pout toute partie A de E, on a f(x2) appartient à f(E\{x1})=F\f({x1}), c-à-d
f(x2) appartient à F\{f(x1)}, donc f(x2) n'appartient pas à {f(x1)}, d'ou f(x2) est different de f(x1) ce qui montre que f est injective.
pour montrer la surjection, il suffir de prendre A={} l'ensemble vide et donc d'apres l'hypothèse on f(E\{})=F\f({})
c-à-d f(E)=F car f({})={} et E\{}=E et F\{}=F. c.q.f.d
2) maintenant on suppose que f est bijective et nous allons montrer que f(E\A)=F\f(E), pout toute partie A de E.
soit A une partie quelconque de E et y un element de f(E\A) alors il existe un x dans E\A, telque y=f(x)
supposons par l'absurd que y n'appartient pas à F\f(A), alors y appartient à f(A), donc il existe un x' dans A telque y=f(x'), on a donc f(x)=f(x') ce qui implique x=x' puisque f est injective , c'est absurd car x est dans E\A et x dans A ( x n'appartient pas à A et appartient à A) d'ou y appartient à F\f(A). Ce qui montre l'inclusion f(E\A) C F\f(A).
Soit maintenant y dans F\f(A)=f(E)\f(A) car f est surjective et donc f'E)=F. Donc y apprtient à f(E) et y n'appartient pas à f(A). Donc il existe un x de E telque y=f(x) et y n'appartient pas à f(A). On a certainement x n'appartient pas à A car sinon on aura f(x)=y appartient A ce qui est absurd. finalement on a trouver un element x dans E\A telque y=f(x) donc y est un element de f(E\A) ce qui montre l'inclusion (F\f(A)) C f(E\A) .