Quatrième olympiade de première [01 Mars 2013]

pour l'exo 2)
si a>=b>=c alors b-c|P(b)-P(c)=c-a, d'où a-b=< c-a (absurde!). On refait la même chose pour les autres cas

Pour l'exo 3)

(il est mal posé au passage).

Il y'a juste deux identités à utiliser :

1/(1-(1/(1-x)))=1-1/x et 1/(1-(1-1/x)))=x.

on remplace x par 1/(1-x), ce qui donne f(1/(1-x))+f(1-1/x)=1/(x-1), on remplace ici x par 1-1/x pour obtenir f(1-1/x)+f(x)=-x.

si on pose f(x)=a, f(1/(1-x))=b et f(1-1/x)=c, on aura ainsi 3 équations avec trois inconnues....je vous laisse la suite;)

Premier exercice :
1)
nous savons que |x+1| >=x+1 et |y+1|>=y+1
Si x+y>=0 alors |x+y|+|x+1|+|y+1| >= x+y+x+1+y+1=2(x+y)+2 >=2
Si x+y <0, l'inégalité est équivalente à |x+1|+|y+1| >= 2+x+y. Or |x+1| >=x+1 et |y+1|>=y+1 ==> |x+1|+|y+1| x+1+y+1=2+x+y

Pour l'exo 1)

|x+y|+|x+1|+|y+1| >= (|x|-|y|)+|x+1|+|y+1|>=(|x|+|1+x|)+|y|+1-|y|>=|1+x-x|+1>=2.

J'ai utilisé ici |x+y|>=|x|-|y| et |x|=|-x|.

Je pense seule (0,0) est solution.

1-2) x=-y

1-2) x=-y=0

radouane_BNE a écrit:

1-2) x=-y=0

x=1 est solution

Humber a écrit:

radouane_BNE a écrit:

1-2) x=-y=0

x=1 est solution

Je viens de me rendre compte que pour tout x appartenant à [-1,1] il existe un y . (Parceque |x+1|<2, |x+y|<2 et |y+1|<2)

Troisième exercice :

remplaçons x par 1/(1-x) on obtient : f(1/(1-x))+f((x-1)/x)=1/(1-x) *

remplaçons x par (x-1)/x on obtient : f((x-1)/x)+f(x)=(x-1)/x **

(**) - (*) = f(x)-f(1/(1-x))=(x²-x+1)/(x²-x) ***

*** + (l'équation de départ) = 2f(x)=(x^3-x+1)/(x²-x)

Donc f(x)=(x^3-x+1)/(2x²-2x)

Ma solution au p1:
1)|x+y|+|-1-y|+|-1-x|>=|x-1|+|-1-x|>=|2|=2.
2)2=|x+1|+|y+1|+|x+y|>=|x+1|+|x-1|>=2|x| ==> S=[-1,1].
Pour tout x de S il suffit de prendre y=-x £IR car |x+1|+|x-1|=2 .
Pour le 4eme problème, c'est une application directe du théorème de Ptolémé.

Quatrième exercice :

Je me demande pourquoi on a proposé ce problème !



Le théorème de Ptolémée nous permet d'écrire : MA.BC = AB.MC+AC.MB ==> MA = AB.MC/BC+AC.MB/BC
et puisque le triangle est équilatéral alors MA = AB.MC/BC+AC.MB/BC =MC+MB

EDIT : Vous venez juste de l'affirmer Mr Geo. Je ne l'avais pas vu désolé

*youness* a écrit:

Exercice 2:

Juste un petit point a Rectifier
et vous avez dit : (a-b) | (b-c) là c'est bon mais
implique t'il a-b =< b-c
qui t'a dit que c>= b et a>=b ??????????????

Donc avant il faut assumer que (a>=b>=c ou ....) Bach tkhdéme b des Inégalités a l'aise
d'ou facilement tu tire que le seul cas possible a=b=c ce qui n'est pas le cas de l'exo
Sinon rah c'est Bon . rak mlé7 a Lmanchih

Oue, Bien Vu Ali (Y)

comment ça (a-b)/(b-c) c'est quoi le slach ?

"Slach" Signifie "Divise" :p

Pourquoi avoir pris P(x)= mx+e ?

Si P est un polynôme de 2eme degré ou plus, cela est impossible, puisque lorsequ'on P(P(c)) (Al morakkibat ) Ca devient un polynôme de 4eme degré(ou plus)
Si d(P)= 1, Cela est impossible aussi, puisque P(c)=a
Si d(P)= 0, P = cte or P(c)=a et P(b)=c

C'est faux ?

la solution du 3éme exo est :f(x)=1/2x ??

pour l'exercice 1: ma solution