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 système

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aissa
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MessageSujet: système   système EmptySam 14 Déc 2013, 14:49

BJR
Résoudre le système
a^3 + b = c
b^3 + c = d
c^3 + d = a
d^3 + a = b
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: système   système EmptyDim 15 Déc 2013, 11:12

f(x,y,z,t)=(x^3+y-z, y^3+z-t, z^3+t-x, t^3+x-y)
La matrice  jacobienne  de f en (x,y,z,t) est :
J(f)(x,y,z,t)=

(3x²     ...          1     ...            -1      ...          0    )
(    0     ...         3y²      ...         1       ...        -1    )
(    -1    ...            0        ...     3 z²    ...         1     )
(    1       ...          -1          ...       0     ...       3t²  )

Cherchons le rang par Gauss

L1 <---> L4
(    1      ... -1     ...            0...            3t²  )
(    0      ...        3y² ...             1       ...        -1    )
(    -1      ...          0      ...       3 z²        ...      1    )
(3x²        ...       1       ...          -1     ...           0    )

L3<--- L3+L1 et L4<--- L4-3x².L1
(    1        ...         -1      ...           0     ...       3t²      )
(    0         ...     3y²       ...       1        ...       -1        )
(    0          ...      -1        ...     3 z²    ...    3t² +1    )
(    0          ...     1 +3x² ...           -1     ...        -9x²t²  )

L2 <---> L3
(    1  ...      -1       ...          0       ...     3t²      )
(    0   ...      -1       ...3 z²     ...   3t² +1  )
(    0     ...    3y²      ...1        ...    -1       )
(    0       ...1 +3x² ...          -1    ...     -9x²t²   )

L3 <--- L3+3y²L2  et L4<--- L4+(1+3x²)L2
(    1       ... -1      ...    0         ...                               3t²                   )
(    0    ...    -1    ...    3 z²            ...                       3t² +1                 )
(    0     ...    0      ...  1 +3z²                 ...        -1+3y²( 3t² +1)          )
(    0      ...   0    ... -1 +3z²(1+3x²)      ...  -9x²t²+(3t^2 +1)(1+3x²)   )

L4 <--- L4- (-1 +3z²(1+3x²)) / (1 +3z²) L3  
( 1 ... -1 ... 0 ... 3t² )
( 0 ... -1 ... 3 z² ... 3t² +1 )
( 0 ... 0 ... 1 +3z² ... -1+3y²( 3t² +1) )
( 0 ... 0 ... 0 ... -9x²t²+(3t^2 +1)(1+3x²)- (-1 +3z²(1+3x²))(-1+3y²( 3t² +1)) / (1 +3z²) )

==> rg =4   ssi   -9x²t²+(3t^2 +1)(1+3x²)- (-1 +3z²(1+3x²))(-1+3y²( 3t² +1)) / (1 +3z²) #0

dans ce cas f est un difféomorphisme de R^4 sur R^4
f(x,y,z,t)=(0,0,0,0) <==> x=y=z=t=0

_________________
وقل ربي زد ني علما
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aissa
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MessageSujet: Re: système   système EmptyLun 16 Déc 2013, 20:31

bonsoir
c'est un exercice d olympiades
faites la première équation moins la troisième et la deuxième moins la quatrième
puis combiner
bon courage
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