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 jolie inegalite

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bianco verde
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MessageSujet: jolie inegalite    Sam 28 Déc 2013, 14:41

Soient a.b.c et d trois reels positifs tel que
(1/1+a^2)+(1/1+b^2)+(1/1+c^2)+(1/1+d^2)=1
M.Q: abcd>ou=3
Merci d'avance pour les reponses !
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aymas
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Ven 03 Jan 2014, 20:20



Dernière édition par aymas le Ven 03 Jan 2014, 20:21, édité 1 fois
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legend-crush
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 17:38

Ya une erreur dans la question ^^
c'est ou bien
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bianco verde
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 20:00

J'ajoute une autre
Soit a,b,c >0 tels que abc=1
M.Q: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<ou= 1
SVP n'hesitez pas Smile
Et Merci d'avance !!!
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aymas
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 20:29

indication:
 
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 20:53

bianco verde a écrit:
J'ajoute une autre
Soit a,b,c >0 tels que abc=1
M.Q: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<ou= 1
SVP n'hesitez pas Smile
Et Merci d'avance !!!

prend a=x/y , b=y/z et c=z/x (abc=1)
alors 1≥(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a) => xyz≥(x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)
<=> x^3+y^3+z^3+3xyz≥ x²y+x²z+xy²+y²z+xz²+yz² ce qui vrai par Schur (le cas t=1)
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bianco verde
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:00


Voyez comme je suis nouveau ; pouvez vous m'expliquer l'inegalité de Schür .?
Et Merci d'Avance...
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:13

bianco verde a écrit:

Voyez comme je suis nouveau ; pouvez vous m'expliquer l'inegalité de Schür .?
Et Merci d'Avance...

aah bon
l'inégalité de Schur :
avec égalité si et seulement si a, b, c sont égaux ou si deux d'entre eux sont égaux et le troisième est nul.

dans le cas t=1 on obtient :


Dernière édition par Ahmed Taha le Sam 04 Jan 2014, 21:16, édité 1 fois
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bianco verde
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:15

Ça y est je viens de comprendre l'inegalite de Schür / Tout est clair maintenant ; je vous remercie Very Happy
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:17

bianco verde a écrit:
Ça y est je viens de comprendre l'inegalite de Schür / Tout est clair maintenant ; je vous remercie Very Happy

de rien  Very Happy 
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bianco verde
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:20

J'ajoute une autre
Soit x,y et z > 0
Tels que xyz>=xy+xz+yz
Prouver que xyz>=3(x+y+z)
Amicalement ^^
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bianco verde
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:33

Par Schur on a
x^3+y^3+z^3-3xyz>=x(z^2+y^2)+z(x^2+y^2)+y(x^2+z^2)
Donc x^3+y^3+z^3-3xyz>=x(z-y)^2+z(x-y)
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bianco verde
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:36

Je continue dsl
x^3+y^3+z^3>=x(z-y)^2+z(x-y)^2+y(x-z)^2>=0
D'ou le resultat voulu .
Merci les gars la methode Schur est terriblement efficace
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bianco verde
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:38

Faute de frappe dans le prmier msg
! Dsl !
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legend-crush
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:55

bianco verde a écrit:
J'ajoute une autre
Soit a,b,c >0 tels que abc=1
M.Q: (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)<ou= 1
SVP n'hesitez pas Smile
Et Merci d'avance !!!
C'est une olympiade internationale de l'an 2000, et voici ma méthode Smile
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: jolie inegalite    Sam 04 Jan 2014, 21:58

bianco verde a écrit:
J'ajoute une autre
Soit x,y et z > 0
Tels que xyz>=xy+xz+yz
Prouver que xyz>=3(x+y+z)
Amicalement ^^

1) l'inégalité AM-GM (moyenne arithmétique et moyenne géométrique)


supposons a=1/x ,b=1/y et c=1/z alors 1≥a+b+c  donc il faut démontrer : 1/3≥ab+ac+bc
aprés AM-GM 2ab≥a²+b² , 2ac≥a²+c² et 2bc≥b²+c² donc 1≥(a+b+c)²≥3(ab+ac+bc) d'où 1/3≥ab+ac+bc
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