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 monde des inégalités

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elmrini
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyJeu 27 Fév 2014, 21:37

a,b,c>0 Prouver que : a²+b²+c²+2abc+1>2(ab+ac+bc)
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyJeu 27 Fév 2014, 21:43

M. DAMP a écrit


a,b,c>0 Montrez que monde des inégalités - Page 9 Codeco28

monde des inégalités - Page 9 Ddd10
j'ai utilisé quelques indices que j'avais vus il y a longtemps.
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyJeu 27 Fév 2014, 22:27

monde des inégalités - Page 9 Gif
il suffit alors de montrer que monde des inégalités - Page 9 Gif 
on a monde des inégalités - Page 9 Gif
il suffit alors de montrer que monde des inégalités - Page 9 Gifce qui est vrai http://www.wolframalpha.com/input/?i=3%28x%29%5E%282%2F3%29+-+2x+-1+
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elmrini
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyJeu 27 Fév 2014, 22:52

BRAVO M.seledeur
P.S : la dernier inégalité est vrai par am gm x^3+x^3+1>3x² avec x^3=abc
a toi de poster une autre ineq.
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyJeu 27 Fév 2014, 23:03

a,b,c> 0 tq ab+ac+bc=1 , MQ  monde des inégalités - Page 9 Gif
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyJeu 27 Fév 2014, 23:52

M. Seledeur a écrit:
a,b,c> 0 tq ab+ac+bc=1 , MQ  monde des inégalités - Page 9 Gif




Avant d'aller m'endormir, je propose une solution que j'ai trouvée dans un livre:
monde des inégalités - Page 9 Dddd10

Bonne nuit.
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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyVen 28 Fév 2014, 09:29

Cette méthode est vraiment épatante   Exclamation  Exclamation  Je me permet, pour faire vite, de poster un petit exo proposé dans l'entrainement de l'année dernière Very Happy

Soient a,b,c trois réels strictement positifs tels que monde des inégalités - Page 9 Gif, Montrer Que:
monde des inégalités - Page 9 Gif
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyVen 28 Fév 2014, 12:47

WLOG : monde des inégalités - Page 9 Gif
par Chyebechev : monde des inégalités - Page 9 Gif
il suffit alors de montrer que monde des inégalités - Page 9 Gifce qui est vrai .
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyVen 28 Fév 2014, 15:24

Bravo M. Seledeur et un grand Merci à M. Legend_Crush qui a proposé cet exercice.
J'ai une toute petite remarque à propos de l'ordre des variables: on a appris que les inégalités cycliques permettent seulement de définir un plus petit élément ou un plus grand élément.

monde des inégalités - Page 9 Selede10
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyVen 28 Fév 2014, 16:24

a,b,c strictement positifs : MQ monde des inégalités - Page 9 1aee25e82bebc1f748dd845853b3645063e499c8
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elmrini
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyVen 28 Fév 2014, 18:30

seledeur a écrit:
a,b,c strictement positifs : MQ monde des inégalités - Page 9 1aee25e82bebc1f748dd845853b3645063e499c8

monde des inégalités - Page 9 Gif.download?LHS%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%5Cleft%20%28%201+%5Cfrac%7Bbc%7D%7Ba%5E2%7D%20%5Cright%20%29%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%5Cleft%20%28%201+%5Cfrac%7Bac%7D%7Bb%5E2%7D%20%5Cright%20%29%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D%5Cleft%20%28%201+%5Cfrac%7Bab%7D%7Bc%5E2%7D%20%5Cright%20%29%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5Cposons%20%5C%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%5C%5C%5C%5C%20y%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7Bc%7D%5C%5C%20%5C%5C%20z%3D%5Cfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20%5C%20%5C%20on%20%5C%20a%20%3A%20xyz%3D1%20%5C%20%5C%20et%20%5C%20%5C%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cfrac%7Bab%7D%7Bc%5E2%7D%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bz%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cfrac%7Bac%7D%7Bb%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bbc%7D%7Ba%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bz%7D%7Bx%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright

monde des inégalités - Page 9 Gif
je pense que vous avez une autre méthode plus simple Mr seledeur .
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elmrini
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyVen 28 Fév 2014, 19:03

a,b,c>0 avec a+b+c=1/a+1/b+1/c Montrer que : ab+bc+ac+abc≥4
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 13:45

Posons p = a+b+c et q = abc , alors en utilisant la condition on a pq=ab+bc+ac , il est clair que p≥3, et l'inégalité a montrer est equivalente a q(p+1) ≥ 4 , on a monde des inégalités - Page 9 Gifet en utilisant la condition : a²+b²+c² = p²-2pq, donc schur est equivalente a p³ + 9q ≥ 4qp² donc q(p+1)≥p³(p+1)/(4p²-9) , il suffit alors de montrer que p³(p+1)/(4p²-9) ≥ 4 pour p ≥3  ce qui est vrai http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28p%5E3%28p%2B1%29%29%2F%284p%5E2-9%29+from+3+to+4
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 13:47

pour monde des inégalités - Page 9 1aee25e82bebc1f748dd845853b3645063e499c8 , voir http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2796376&sid=9a77b65305d642c0f3fb32f5e200a7b0#p2796376
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 14:18

a,b,c strictement positifs tq a+b+c =1 , MQ monde des inégalités - Page 9 23f0575e400405696e1ace0977f0db57dbff536a
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 18:25

monde des inégalités - Page 9 Gif.latex?il%7E%7Esuffit%7Ede%7Eremarquer%7Eque%7E%5Cfrac%7B1%7D%7Bab+2c%5E2+2c%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7Bab%7D%7B%28ab+bc+ca%29%5E2%7D%7Epuis%7Esommer%7Eles%7E3%7Erelations%5C%5C%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7Bab+2c%5E2+2c%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7Bab%7D%7B%28ab+bc+ca%29%5E2%7D%5CLeftrightarrow%20%7E%28a-b%29%5E2%5Cgeq%200%7E
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 18:41

On a par C-S :monde des inégalités - Page 9 Codeco35 donc il suffit de montrer que  monde des inégalités - Page 9 Codeco36 (1) et on a par la condition monde des inégalités - Page 9 Codeco37donc (1) <=>monde des inégalités - Page 9 Codeco38 d’où le résultat .
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 19:10

DAMP a écrit:
On a par C-S :monde des inégalités - Page 9 Codeco35 donc il suffit de montrer que  monde des inégalités - Page 9 Codeco36 (1) et on a par la condition monde des inégalités - Page 9 Codeco37donc (1) <=>monde des inégalités - Page 9 Codeco38 d’où le résultat .

c'est faux Mr'' DAMP'' . regarder la derniere ligne ab+bc+ca =< 1/3
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 19:16

-


Dernière édition par DAMP le Dim 02 Mar 2014, 20:04, édité 1 fois
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 19:52

a,b,c>0 tel que a+b+c=3, montrez que monde des inégalités - Page 9 Codeco48
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 19:55

pour utiliser chebyshev les 2 sequences doit etre ordonnees de la meme facon ou de facon inverse. on supposant
a>=b>=c on ne pourra pas utiliser chebyshev avec (a;b;c) et (b;c;a) sauf erreur
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 20:05

Oui tu as raison faute d'innatention Embarassed
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 20:31

monde des inégalités - Page 9 Gif
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 20:44

a,b,c,x strictement positifs , MQ monde des inégalités - Page 9 Gif
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 EmptyDim 02 Mar 2014, 22:30

On montre d'abord que monde des inégalités - Page 9 Codeco52

Après avoir developer, l'inégalité est equivalente à: monde des inégalités - Page 9 Codeco54

En utilisant la propriété précédente on trouve :
monde des inégalités - Page 9 Codeco55
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   monde des inégalités - Page 9 Empty

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