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 monde des inégalités

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elmrini
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 27 Fév 2014, 21:37

a,b,c>0 Prouver que : a²+b²+c²+2abc+1>2(ab+ac+bc)
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 27 Fév 2014, 21:43

M. DAMP a écrit


a,b,c>0 Montrez que 


j'ai utilisé quelques indices que j'avais vus il y a longtemps.
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 27 Fév 2014, 22:27


il suffit alors de montrer que  
on a
il suffit alors de montrer que ce qui est vrai http://www.wolframalpha.com/input/?i=3%28x%29%5E%282%2F3%29+-+2x+-1+
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elmrini
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 27 Fév 2014, 22:52

BRAVO M.seledeur
P.S : la dernier inégalité est vrai par am gm x^3+x^3+1>3x² avec x^3=abc
a toi de poster une autre ineq.
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 27 Fév 2014, 23:03

a,b,c> 0 tq ab+ac+bc=1 , MQ  
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 27 Fév 2014, 23:52

M. Seledeur a écrit:
a,b,c> 0 tq ab+ac+bc=1 , MQ  




Avant d'aller m'endormir, je propose une solution que j'ai trouvée dans un livre:


Bonne nuit.
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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Ven 28 Fév 2014, 09:29

Cette méthode est vraiment épatante   Exclamation  Exclamation  Je me permet, pour faire vite, de poster un petit exo proposé dans l'entrainement de l'année dernière Very Happy

Soient a,b,c trois réels strictement positifs tels que , Montrer Que:
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Ven 28 Fév 2014, 12:47

WLOG :
par Chyebechev :
il suffit alors de montrer que ce qui est vrai .
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Ven 28 Fév 2014, 15:24

Bravo M. Seledeur et un grand Merci à M. Legend_Crush qui a proposé cet exercice.
J'ai une toute petite remarque à propos de l'ordre des variables: on a appris que les inégalités cycliques permettent seulement de définir un plus petit élément ou un plus grand élément.

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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Ven 28 Fév 2014, 16:24

a,b,c strictement positifs : MQ
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elmrini
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Ven 28 Fév 2014, 18:30

seledeur a écrit:
a,b,c strictement positifs : MQ




je pense que vous avez une autre méthode plus simple Mr seledeur .
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elmrini
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Ven 28 Fév 2014, 19:03

a,b,c>0 avec a+b+c=1/a+1/b+1/c Montrer que : ab+bc+ac+abc≥4
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 13:45

Posons p = a+b+c et q = abc , alors en utilisant la condition on a pq=ab+bc+ac , il est clair que p≥3, et l'inégalité a montrer est equivalente a q(p+1) ≥ 4 , on a et en utilisant la condition : a²+b²+c² = p²-2pq, donc schur est equivalente a p³ + 9q ≥ 4qp² donc q(p+1)≥p³(p+1)/(4p²-9) , il suffit alors de montrer que p³(p+1)/(4p²-9) ≥ 4 pour p ≥3  ce qui est vrai http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28p%5E3%28p%2B1%29%29%2F%284p%5E2-9%29+from+3+to+4
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 13:47

pour , voir http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2796376&sid=9a77b65305d642c0f3fb32f5e200a7b0#p2796376
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 14:18

a,b,c strictement positifs tq a+b+c =1 , MQ
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 18:25

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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 18:41

On a par C-S : donc il suffit de montrer que   (1) et on a par la condition donc (1) <=> d’où le résultat .
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younesmath2012
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 19:10

DAMP a écrit:
On a par C-S : donc il suffit de montrer que   (1) et on a par la condition donc (1) <=> d’où le résultat .

c'est faux Mr'' DAMP'' . regarder la derniere ligne ab+bc+ca =< 1/3
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 19:16

-


Dernière édition par DAMP le Dim 02 Mar 2014, 20:04, édité 1 fois
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 19:52

a,b,c>0 tel que a+b+c=3, montrez que
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elidrissi
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 19:55

pour utiliser chebyshev les 2 sequences doit etre ordonnees de la meme facon ou de facon inverse. on supposant
a>=b>=c on ne pourra pas utiliser chebyshev avec (a;b;c) et (b;c;a) sauf erreur
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 20:05

Oui tu as raison faute d'innatention Embarassed
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 20:31

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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 20:44

a,b,c,x strictement positifs , MQ
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 02 Mar 2014, 22:30

On montre d'abord que

Après avoir developer, l'inégalité est equivalente à:

En utilisant la propriété précédente on trouve :
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