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 monde des inégalités

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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 05 Jan 2014, 11:10

a,b,c ∊ (1,2)
MQ
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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 05 Jan 2014, 13:24



1<a,b,c<2 ==> 4b≥4 et sqrt(ac)≤ 4 ==> sqrt(ac)≤4b ==> ac≤ 4b*sqrt(ac).
Donc les dénominateurs du LHS sont tous positifs .

Ainsi il est possible d'appliquer Cauchy-Shwartz :


Cas d'égalité : a=b=c .

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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 05 Jan 2014, 20:20

(x,y,z)>0
Prouver que :
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 05 Jan 2014, 20:57

Humber a écrit:
(x,y,z)>0
Prouver que :

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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 05 Jan 2014, 21:08

soient a,b,c>0 tels que abc=1
Montrer que :
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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 06 Jan 2014, 20:39



Parce qu'avec p=a+b+c, p²>=2p+3 <==> (p-3)(p+1)>=0 ce qui est vrai puisque a+b+c>= 3(abc)^(1/3)
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 06 Jan 2014, 21:10

Humber a écrit:


Parce qu'avec p=a+b+c, p²>=2p+3 <==> (p-3)(p+1)>=0 ce qui est vrai puisque a+b+c>= 3(abc)^(1/3)

Bon méthode
voici une autre :

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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 06 Jan 2014, 21:27

Ahmed Taha a écrit:

voici une autre :


Joli !  Smile 
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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mar 07 Jan 2014, 13:32

Prouver que :


a,b,c étant des longueurs d'un triangle
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 08 Jan 2014, 18:54

Quelqu'un pourrai éclaircir le passage par C-S dans la démonstration de Humber Svp ?
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L-W-P
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 08 Jan 2014, 19:23

C-S c’est l'inégalité célèbre de Cauchy Schwartz
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 08 Jan 2014, 19:37

Oui oui je sais bien, mais comment il l'a utilisé pour faire ce passage, je ne vois comment il l'a utilisé
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 08 Jan 2014, 19:57

DAMP a écrit:
Oui oui je sais bien, mais comment il l'a utilisé pour faire ce passage, je ne vois comment il l'a utilisé

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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 08 Jan 2014, 20:17

DAMP a écrit:
Quelqu'un pourrai éclaircir le passage par C-S dans la démonstration de Humber Svp ?

It's popularly known as Cauchy-Shwartz inequality in Engel Form.
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DAMP
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 08 Jan 2014, 20:27

Ahmed Taha a écrit:
DAMP a écrit:
Oui oui je sais bien, mais comment il l'a utilisé pour faire ce passage, je ne vois comment il l'a utilisé


Ah oui c'est plus claire, merci bcp Ahmed Taha !
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 09 Jan 2014, 16:43

Humber a écrit:
Prouver que :


a,b,c étant des longueurs d'un triangle



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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 09 Jan 2014, 17:01

Montrer que :


avec a,b,c>0 et a+b+c=1
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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mar 14 Jan 2014, 16:00



Mais, avec a=x² ... :


Donc :


Et puisque la fonction x-> x/(x+1) est concave sur IR+ nous avons par Jensen :
.
QED .

J'aimerais bien, si possible voir ta solution Ahmed Taha. Pour voir seulement s'il y a une solution plus élégante. Merci
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mar 14 Jan 2014, 17:05

Humber a écrit:


Mais, avec a=x² ... :


Donc :


Et puisque la fonction x-> x/(x+1) est concave sur IR+ nous avons par Jensen :
.
QED .

J'aimerais bien, si possible voir ta solution Ahmed Taha. Pour voir seulement s'il y a une solution plus élégante. Merci

bien joué  cheers 



j'ai trouver cette solution dans ce livre la
http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/AoPS.pdf/567%20Nice%20And%20Hard%20Inequality.pdf

car ma méthode est plus long geek
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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mar 14 Jan 2014, 17:08

Merci pour le livre, intéressant.
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mar 14 Jan 2014, 17:27

Humber a écrit:
Merci pour le livre, intéressant.

c rien Wink
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 16 Jan 2014, 18:16

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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Sam 18 Jan 2014, 23:28

L'inégalité est équivalente à prouver que : ab+bc+ac+abc≥4 ou encore (a-1)(b-1)(1-c)+a+b+c+2abc≥5
Observons que a,b,c ne peuvent être tous supérieurs ou inférieurs à 1. Supposons donc SPDG que (a,b)≥1 et que 1≥c. Nous avons donc (a-1)(b-1)≥0 et donc (a-1)(b-1)(1-c)+a+b+c+2abc≥a+b+c+2abc
Il suffit ainsi de prouver que a+b+c+2abc≥5
Si abc≥1 l'inégalité est claire parce que a+b+c≥3 .
Si 1≥abc :
<==>

Prenons la fonction f: x->p/x+2x avec p²=(ab+bc+ac)²≥3abc(a+b+c)=3(ab+bc+ac) ==> p≥3 et x=abc

1≥x ==>2x²-p <0 donc f est décroissante sur ]0,1], ainsi f(x)≤f(1) <==> f(x)≥p+2≥5

Donc p/x+2x=(ab+bc+ac)/abc+2abc≥5 ==>a+b+c+2abc≥5. CQFD

Finalement je pense que le cas 1≥abc est inutile vu que lorsque(a,b)≥1 et c en est inférieure, abc est systématiquement supérieur ou égal à 1 . Reste à le démontrer.
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Humber
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 19 Jan 2014, 03:21

n≥2


Prouver que :
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Sam 25 Jan 2014, 19:42

Pour le problème de M. Ahmed TAHA du 9 Janvier 2014, j'ai trouvé une solution dans laquelle on n'utilise que les IAG.

Soient a,b et c des réels positifs tel que a+b+c=1.  Montrer que  ab/(1-c^2 )+bc/(1-a^2 )+ca/(1-b^2 )≤  3/8   .

On a  ab/(1-c^2 )=  ab/(〖(a+b+c)〗^2-c^2 )=ab/(a^2+b^2+2ab+2bc+2ca)   .

On a aussi a^2+b^2+2ab+2bc+2ca≥8〖(a^6 b^6 c^4)〗^(1/Cool=8a^(3/4) b^(3/4) c^(1/2)   ∶IAG .
↔1/(8a^(3/4) b^(3/4) c^(1/2) )≥1/(a^2+b^2+2ab+2bc+2ca)  ↔(a^(1/4) b^(1/4))/(8c^(1/2) )≥ab/(a^2+b^2+2ab+2bc+2ca)

donc   ab/(1-c^2 )≤(a^(1/4) b^(1/4))/(8c^(1/2) )   ,de même on a  bc/(1-a^2 )≤(b^(1/4) c^(1/4))/(8a^(1/2) )  et ca/(1-b^2 )≤(c^(1/4) a^(1/4))/(8b^(1/2) )  ,

donc  ab/(1-c^2 )+bc/(1-a^2 )+ca/(1-b^2 )≤1/8 ((a^(1/4) b^(1/4))/(8c^(1/2) )+(b^(1/4) c^(1/4))/(8a^(1/2) )+(c^(1/4) a^(1/4))/(8b^(1/2) ))  ≤1/8*3〖((a^(1/4) b^(1/4))/(8c^(1/2) )*(b^(1/4) c^(1/4))/(8a^(1/2) )*(c^(1/4) a^(1/4))/(8b^(1/2) ))〗^(1/3)=3/8 ∶IAG ,

donc  ab/(1-c^2 )+bc/(1-a^2 )+ca/(1-b^2 )≤  3/8   .
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