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 exercice difficile

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AuteurMessage
ipek
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Féminin Nombre de messages : 26
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MessageSujet: exercice difficile    Mer 01 Jan 2014, 15:11

j'arrive pas à résoudre cet exercice .. ça fait 2 semaines que je cherche la solution  scratch 
soit a et b et c strictement positif
démontrez que
√(2a)⁄√(a+b) +√(2b)⁄√(b+c) + √(2c)⁄√(a+c)≤3
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L-W-P
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MessageSujet: Re: exercice difficile    Mer 01 Jan 2014, 19:10

réponse:
on sait que la moyenne quadratique est supérieur ou égale la moyenne arithmétique alors:

alors il suffit maintenant de prouver que

par symétrie de rôle on suppose que 
avec l'inégalité de réordonnement on aura

et

en ajoutant les deux inégalité on aura

alors
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ipek
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Féminin Nombre de messages : 26
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MessageSujet: Re: exercice difficile    Mer 01 Jan 2014, 21:46

merci pour votre réponse
mais normalement je pense on doit d'abord démontrer la première inéquation
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L-W-P
Maître
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MessageSujet: Re: exercice difficile    Mer 01 Jan 2014, 21:49

j'ai pas écrit toutes les simplifications, mais juste les résultats parce que cela prend du temps d'une part, d'autre part c'est évident.
P.S elle ne s'appelle pas inéquation c'est inégalité on cherche pas un inconnu


Dernière édition par L-W-P le Jeu 02 Jan 2014, 00:50, édité 1 fois
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ipek
Habitué
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Féminin Nombre de messages : 26
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Date d'inscription : 01/01/2014

MessageSujet: Re: exercice difficile    Mer 01 Jan 2014, 21:55

ok merci  Smile donc je vais essayer de la refaire
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nmo
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Date d'inscription : 29/10/2009

MessageSujet: Re: exercice difficile    Jeu 02 Jan 2014, 19:55

L-W-P a écrit:
par symétrie de rôle on suppose que 
On aura:
Cela est clairement faux, si on prend et .
L'inégalité que tu as écrit devient: , soit ou encore .
Et cela contredit ce que tu as supposé.
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Oty
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 745
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MessageSujet: Re: exercice difficile    Jeu 02 Jan 2014, 20:28

Proposition , on pose x=b\a , y=c\b , z=a\c ;  on utilise l'estimation suivante ,
rac(u)+rac(v) =< rac(2(u+v)}  facile a prouvé en élévant au carré ou bien c'est simplement caushy swarsh pour les connaisseur ,  l'inégalité est equivalente apres le changemente de variable a :
\sum 1\rac(1+x)  =< 3\rac(2) ,
parmis les produites  xy , yz , xz  il existe au moin un inférieur a 1 , sans perdre de généralité on peut supposé xy =< 1 . d'apres l'estimation on  a :

en utilise le lemme suivant maintenant , facile a prouver aussi  par simple calcule , pour u , v positif tel que uv =< 1 on a :
1\1+u² + 1\1+v² =< 2\1+uv  . il vient donc en l'appliquant au membre droit de l'estimation que :
 comme xy=1\z , en posant  z=m² il suffit de prouver que ,
, ce qui est vrai je te laisse faire les calcules Very Happy, bonne chance .
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