arithmitiques aide derniere question

1.resoudre dans Z^2 16x-41y=1
E={0,1.....40}
2.montrez que l eq admet un unique solution ds E^2
3. determiner a de E tel que 16a=1[41]
4.soit f l app de E ds E qui a chaque n de E fait corresp le reste de la division eucl de 16n+25 sur 41
1.1 mq que f est inj
1.2 trouver n de E tq f(n)=40
1.3 mq f est surj
1.4 determiner la bijection reciproque de f



merci

penser a utiliser l'algorithme de euclide pour trouver a et b tel que 45b-16a=1 et tu trouverais le resultat

1. 16*18-41*7=1 donc (18;7) est une solution

16x-41y=16*18-41*7 ==>  16(x-18)=41(y-7) ==> 16 divise 41(y-7) comme 16^41=1 par gouss 16/y-7
==>il existe un k£Z y=7+16k.

de même pour :  41/16(x-18)==>   41/x-18===> il existe k£Z x=18+41k.

S={(18+41k;7+16k)/k£Z}.
2.  dans E²  S=(18;7)
3.  a=18.
4. f(24)=40.
1.4.
f  E---->E
  n|----> n' tel que 16n+25=n'[41].
 f(n)=n' et f^-1(n')=n.

f^-1(0)=1
f^-1(16)=2
f^-1(40)=24
cherche n en fonction de n'.

16n+25-41k=n' ==>16n=n'+41k-25 avec k£Z. ===>  n'+41k-25 est multiple de 16.

==> n'+41k-25=0[16] ==>n'=25-41k[16].  ( n=  (n'+41k-26)/16 £E).

je pense que la 4 quest est fausse f(n)=40 c pour n=24 et pa 6

f(n)=40 ==> 16n+25=40[41]
===> il existe un k dans Z: 16n-41k=40-15 ==> 16n-41k=15.

===> n=24 et k=9.

donc f(24)=40. effectivment n =24

mon erreur vient d'ici: 16n-41k=14 ( au lieu de 15) ( n=6; k =2)