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 Monde des équations fonctionnelles

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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyLun 10 Fév 2014, 21:56

il est préféré de poster cet exercice dans le sujet consacré au inégalités -Monde des inégalités- afin que le travail soit un peu organisé pour ce je te demande d'éditer ton message et le remplacer par un exercice d'équation fonctionnelle
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyLun 10 Fév 2014, 22:41

Je m'excuse pour cette inadvertance: j'avais hâte d'essayer la technique que M. hubert m'a montrée.
Pour me faire pardonner, voici un exercice qui respecte le sujet proposé:

Monde des équations fonctionnelles - Page 3 Eqfon511
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyDim 23 Fév 2014, 17:21

P(0,y)=f(y^2)=y^2
donc pour tout a de R+ on a f(a)=a et f(-a)=a
donc f(x)=|x| pour tout x de R
sauf erreur
si c est juste, je propose celui la:
f est une fonction de N vers N tel que f(x)<=x^2
et f(f(f(x)))f(f(y))=xy
combien y a t il de valeurs differentes pour f(30)
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyDim 23 Fév 2014, 19:55

elidrissi a écrit:
P(0,y)=f(y^2)=y^2 (1)
donc pour tout a de R+ on a f(a)=a et f(-a)=a
donc f(x)=|x| pour tout x de R
sauf erreur
Si tu pouvais m'éclaircir quelques points, Merci Very Happy.
Dans la première ligne, où est passé le f(0) qui, je pense, peut prendre les deux valeurs 0 et 1.
Aussi, comment as-tu pu conclure que f(-a)=a à partir du fait que f(y²)=y² ?
Merci d'avance, Very Happy
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyDim 23 Fév 2014, 21:04

je mexcuse. en effet. erreur d innatention. merci de me l avoir signaléVery Happy
voila une autre methode:
f((x-y)^2=f(x)^2-2xf(y)+y^2=f(y)^2-2yf(x)+x^2
[f(x)+y]^2=[f(y)+x]^2
[f(x)+y]^2-[f(y)+x]^2=0
(f(x)+f(y)+x+y)(f(x)-f(y)+y-x)=0
f(x)+f(y)+x+y=0 ==> 2f(0)=0 ==> f(x)+f(0)=f(x)=-x
f(x)-f(y)+y-x=0 ==>f(x)=x+f(0)
en replacant x=y=0 au debut on obtient : f(0)=f(0)^2
f(0)=0 ou f(0)=1
donc f(x)=x ou f(x)=-x ou f(x)=x+1
pour f(x)=x cest clair, pour f(x)=x+1 on a :
f[(x-y)^2]=(x-y)^2+1
f(x)^2-2xf(y)+y^2=(x+1)^2-2x(y+1)+y^2=x^2+2x+1-2xy-2x+y^2=(x-y)^2+1 donc f[(x-y)^2]=f(x)^2-2xf(y)+y^2
pour f(x)=-x on a
f((x-y)^2)=-x^2+2xy-y^2=x^2+2xy+y^2 ce qui nest vrai que pour x=y=0
f(x)=x et f(x)=x+1 sont donc les 2 valeurs correctes
sauf erreur, et encore dsl pour tout a lheure
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyDim 23 Fév 2014, 21:32

elidrissi a écrit:

(f(x)+f(y)+x+y)(f(x)-f(y)+y-x)=0
f(x)+f(y)+x+y=0 ==> 2f(0)=0 ==> f(x)+f(0)=f(x)=-x
f(x)-f(y)+y-x=0 ==>f(x)=x+f(0)
Desolé encore une fois, mais je voudrais savoir si ce passage est permis ?! Si quelqu'un a une connaissance approffondie en ce sujet, qu'il m'éclairssisse parceque j'ai des doutes sur ce passage Very Happy
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyDim 23 Fév 2014, 21:46

pourquoi ne serait-il pas permis? si un produit est nul donc l un des termes est nul.
si cest le premier qui est nul, on pose x=y=0 dans le premier pour obtenir f(0)=0 donc f(x)+f(0)=x
si cest le 2eme qui est nul, on pose y=0 pour avoir f(x)=x+f(0).
sauf erreur
je ne vois pas ou est la faute ._.
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyDim 23 Fév 2014, 21:57

elidrissi a écrit:
pourquoi ne serait-il pas permis? si un produit est nul donc l un des termes est nul.
si cest le premier qui est nul, on pose x=y=0 dans le premier pour obtenir f(0)=0 donc f(x)+f(0)=x
si cest le 2eme qui est nul, on pose y=0 pour avoir f(x)=x+f(0).
sauf erreur
je ne vois pas ou est la faute ._.
Je sais pas, peut-être que la première est nulle dans des cas et l'autre dans des cas. Dans une autre ef, Humber m'a refusé l'impliication suivante:
f(x)²=x² => (f(x)-x)(f(x)+x)=0 -> f(x)=x ou f(x)=-x
Peut-être que ce que je dîs est faux mais quimporte, j'aimerai bien un petit eclairessisement Very Happy
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyDim 23 Fév 2014, 22:04

je ne sais pas comment expliquer plus. dans ton cas, ce ne serait pas parceque cest f²(x) et pas f(x)² ?
sinon je ne vois pas pourquoi c est faux moi non plus. on attends nos ainés pour voire
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nmo
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyLun 24 Fév 2014, 10:08

legend-crush a écrit:
Je sais pas, peut-être que la première est nulle dans des cas et l'autre dans des cas. Dans une autre ef, Humber m'a refusé l'impliication suivante:
f(x)²=x² => (f(x)-x)(f(x)+x)=0 -> f(x)=x ou f(x)=-x
Peut-être que ce que je dîs est faux mais quimporte, j'aimerai bien un petit eclairessisement Very Happy
Normalement, tu as trouvé que: Monde des équations fonctionnelles - Page 3 Gifet cela n'équivaut pas à Monde des équations fonctionnelles - Page 3 Gif.
Le problème ici, c'est que les quantificateurs n'ont presque aucune valeur...
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyLun 24 Fév 2014, 11:04

et dans mon cas, est-ce que c est correct ou je dois corriger?
merci bien ^^


Dernière édition par elidrissi le Mer 26 Fév 2014, 18:41, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyLun 24 Fév 2014, 14:08

M. Elidrissi, je vous félicite pour la solution que vous avez proposée: elle aboutit au même résultat que la solution du livre d'où j'ai copié l'exercice, et en plus elle est riche en détails et en explications.

Pour vous donner l'occasion de faire la comparaison, voici la solution du livre:
Monde des équations fonctionnelles - Page 3 Soluti11
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMar 25 Fév 2014, 10:50

merci bien, Mr ^^
je repose le meme probleme :
f est une fonction de N vers N tel que f(x)<=x^2
et f(f(f(x)))f(f(y))=xy
combien peut il yavoir de valeurs differentes pour f(30)


Dernière édition par elidrissi le Jeu 27 Fév 2014, 17:52, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMar 25 Fév 2014, 14:39

Je ne suis pas sûr de ce que j'avance, vu que je sens l'odeur d'une erreur quelque part.

On a: f(0)=<0² ==> f(0)=0
Et f(1)=<1 ce qui fait f(1)=0 ou f(1)=1
On suppose que f(1)=0 et on prends x=1 et y=/=0 : f(f(f(1))).f(f(y))=y
==> y=0 contradiction.
Donc f(1)=1
On prends encore x=1 et y de N* : f(f(f(1))).f(f(y))=y => f(f(y))=y
ce qui fait que: f(f(f(x)))=f(x)
Alors on a: f(x).y=xy ==> f(x)=x
Donc la fonction f est: f(x)=x pour tout x de N
Alors il ya une unique valeur de f(30) ??
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aymas
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMar 25 Fév 2014, 15:06

C'est correct .
Une autre alternatif x=y=1 implique que f(f(f(1)))=f(f(1))=1 donc f(1)=1 d'ou f(x)=x
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMar 25 Fév 2014, 15:36

non ce n est pas ca ^^
reflechissez-y encore un peu.
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L-W-P
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMar 25 Fév 2014, 16:18

ce qui est demandé est de chercher les valeurs de f(30), n'est ce pas?
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMar 25 Fév 2014, 19:25

pas necessairement. juste le nombre de valeures qu elle peut prendre
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DAMP
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMar 25 Fév 2014, 21:04

Ou est l'erreur dans le raisonnement de legend-crush ?
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMar 25 Fév 2014, 21:52

f^3(x)=x pas f(x) ^^
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seledeur
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMer 26 Fév 2014, 09:57

f^3(x)=x donc f bijective donc ...
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMer 26 Fév 2014, 11:01

tu es sur le bon chemin ^^
petit indice :
Spoiler:
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Sketshup
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Sketshup


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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMer 26 Fév 2014, 18:26

Je ne vois toujours pas l'erreur dans la raisonnement de Legend-Crush...

Sinon, la solution...En Spoiler?
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMer 26 Fév 2014, 18:46

Sketchup,pour eclaircir:
Citation :
On a: f(0)=<0² ==> f(0)=0
Et f(1)=<1 ce qui fait f(1)=0 ou f(1)=1
On suppose que f(1)=0 et on prends x=1 et y=/=0 : f(f(f(1))).f(f(y))=y
==> y=0 contradiction.
Donc f(1)=1
On prends encore x=1 et y de N* : f(f(f(1))).f(f(y))=y => f(f(y))=y
ce qui fait que: f(f(f(x)))=f(x)
Alors on a: f(x).y=xy ==> f(x)=x
Donc la fonction f est: f(x)=x pour tout x de N
Alors il ya une unique valeur de f(30) ??

si tu remplaces f^2(y) par y au debut, tu auras f^3(x)=x pas f^3(x)=f(x).
je vais laisser quelque temps pour que tout le monde s y mette. je posterai la solution si toujours pas de reponses apres demain.
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 EmptyMer 26 Fév 2014, 18:52

Mais.... f^3(x)=f(f(f(x))) et f(f(x))=x ce qui fait que f^3(x)=f(x) ?
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MessageSujet: Re: Monde des équations fonctionnelles   Monde des équations fonctionnelles - Page 3 Empty

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