Inégalité

Comment Peut Montrer que :
Pour tout a réel positif
a^5-a^3+a>=3 ===>a^6>=5

a+1/a>=2 et a(a^4-a^2+1)>=3
En multipliant on trouve (a^2+1)(a^4-a^2+1)>=6
D'ou le resultat voulu
wa Ssalam.

Une autre (du mm niveau)
x,y et zcetant des reels positifs // montrez que (x/y)^2 +(y/z)^2 +( z/x)^2 >= x/y +y/z + z/x . C assez facile / c juste pour animer le forum :p

(x/y)^2+(y/z)^2>=2x/z
(y/z)^2+(z/x)^2>=2z/x
(x/y)^2+(z/x)^2>=2z/y
en sommant et divisant par 2. le résultat sera trouvé

C faux ta confondu x/y avec y/x et y/z avec z/y....

Non ceci est malheureusement faux, tu n'as pas bien lu l'exercice je suppose
Si on pose a=x/y et b=y/z et c=z/x il suffirait de montrer que
a²+b²+c²>a+b+c avec abc=1

c'est juste une faute d'inattention.c'est édité

Legend crush ; c vrai c que tu as dit mais redige tte la reponse !!!

L.W.P c tjr faux !! Tu confondes avec une autre ineq connue..

Pour montrer que (x/y)^2 +(y/z)^2 +( z/x)^2 >= x/y +y/z + z/x, montrons d'abord le lemme suivant:
Soient a,b et c des réels positifs tel que c>= b>= a , alors (a\b + b\c + c\a)>= (b\a + c\b + a\c) .

On a c>= b>= a
      donc (c-b)>= 0 , (a-b)=< 0 et (a-c)=< 0
      donc (c-b)>= 0 et (a-b)(a-c)>= 0
      donc (c-b)(a-b)(a-c)>= 0
et comme (c-b)(a-b)(a-c)= (ab^2+bc^2+ca^2)-(ba^2+cb^2+ac^2)
      on a (ab^2+bc^2+ca^2)-(ba^2+cb^2+ac^2) >= 0 (résultat n° 1)

On a aussi (a\b + b\c + c\a)-(b\a + c\b + a\c)
           = ((ab^2+bc^2+ca^2)-(ba^2+cb^2+ac^2))\(abc)

donc suite au résultat n° 1 on a (a\b + b\c + c\a)-(b\a + c\b + a\c)>=0
                                    donc (a\b + b\c + c\a)>=(b\a + c\b + a\c) (résultat n° 2)

Soient maintenant x,y et z des réels positifs,
posons x^2 = a, y^2 = b et z^2 = c  , et par le résultat n° 2 on a :
((x^2)\(y^2) + (y^2)\(z^2) + (z^2)\(x^2))>=((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) (résultat n° 3)

Montrons maintenant que ((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x)
On a :
      ((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x)
<--> 2((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >=  2(x\y) + 2(y\z) + 2(z\x)
<--> ((y^2)\(x^2) + (x^2)\(z^2) - 2(y\z)) + ((x^2)\(z^2) + (z^2)\(y^2) - 2(x\y)) + ((z^2)\(y^2) + (y^2)\(x^2) - 2(z\x))
<--> (y\x - x\z)^2 + (x\z - z\y)^2 + (z\y - y\z)>= 0 : expression logiquement vraie,
donc ((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x) : résultat n° 4
donc par les résultats 3 et 4 on a :
   ((x^2)\(y^2) + (y^2)\(z^2) + (z^2)\(x^2)) >=((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x)

donc  ((x^2)\(y^2) + (y^2)\(z^2) + (z^2)\(x^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x)

Pour moi ce n'était pas facile, mais merci pour l'exercice tout de même.

aymanemaysae a écrit:

Pour montrer que (x/y)^2 +(y/z)^2 +( z/x)^2 >= x/y +y/z + z/x, montrons d'abord le lemme suivant:
Soient a,b et c des réels positifs tel que c>= b>= a , alors (a\b + b\c + c\a)>= (b\a + c\b + a\c) .

On a c>= b>= a
      donc (c-b)>= 0 , (a-b)=< 0 et (a-c)=< 0
      donc (c-b)>= 0 et (a-b)(a-c)>= 0
      donc (c-b)(a-b)(a-c)>= 0
et comme (c-b)(a-b)(a-c)= (ab^2+bc^2+ca^2)-(ba^2+cb^2+ac^2)
      on a (ab^2+bc^2+ca^2)-(ba^2+cb^2+ac^2) >= 0 (résultat n° 1)

On a aussi (a\b + b\c + c\a)-(b\a + c\b + a\c)
           = ((ab^2+bc^2+ca^2)-(ba^2+cb^2+ac^2))\(abc)

donc suite au résultat n° 1 on a (a\b + b\c + c\a)-(b\a + c\b + a\c)>=0
                                    donc (a\b + b\c + c\a)>=(b\a + c\b + a\c) (résultat n° 2)

Soient maintenant x,y et z des réels positifs,
posons x^2 = a, y^2 = b et z^2 = c  , et par le résultat n° 2 on a :
((x^2)\(y^2) + (y^2)\(z^2) + (z^2)\(x^2))>=((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) (résultat n° 3)

Montrons maintenant que ((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x)
On a :
      ((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x)
<--> 2((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >=  2(x\y) + 2(y\z) + 2(z\x)
<--> ((y^2)\(x^2) + (x^2)\(z^2) - 2(y\z)) + ((x^2)\(z^2) + (z^2)\(y^2) - 2(x\y)) + ((z^2)\(y^2) + (y^2)\(x^2) - 2(z\x))
<--> (y\x - x\z)^2 + (x\z - z\y)^2 + (z\y - y\z)>= 0 : expression logiquement vraie,
donc ((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x) : résultat n° 4
donc par les résultats 3 et 4 on a :
   ((x^2)\(y^2) + (y^2)\(z^2) + (z^2)\(x^2)) >=((y^2)\(x^2) + (z^2)\(y^2) + (x^2)\(z^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x)

donc  ((x^2)\(y^2) + (y^2)\(z^2) + (z^2)\(x^2)) >= (x\y)+(y\z)+(z\x)

Pour moi ce n'était pas facile, mais merci pour l'exercice tout de même.

non je pense que c très facile
1er méthode :
on a (x/y)² +1> 2x/y et la même chose pour les autre
alors on trouve   (x/y)² +(y/z)² +( z/x)²+3> 2(x/y+y/z + z/x)
puisque  (x/y)² +(y/z)² +( z/x)²>3 alors 2((x/y)² +(y/z)² +( z/x)²)>(x/y)² +(y/z)² +( z/x)²+3> 2(x/y+y/z + z/x)

d'où (x/y)² +(y/z)² +( z/x)² > x/y +y/z + z/x

2eme méthode : supposons a=x/y, b=y/z et c=z/x alors abc=1 on a : a+b+c>3
prend f(t)=t(t-1) on a f est une fonction convexe alors : f(a)+f(b)+f(c)>3f((a+b+c)/3)=(a+b+c)(a+b+c-3)/3>0
donc :a²-a+b²-b+c²-c > 0

3eme méthode : par Caushy on a 3((x/y)² +(y/z)² +( z/x)²)>(x/y +y/z + z/x)² et (x/y)² +(y/z)² +( z/x)²>3
alors ((x/y)² +(y/z)² +( z/x)²)²>3((x/y)² +(y/z)² +( z/x)²)>(x/y +y/z + z/x)²
d'où (x/y)² +(y/z)² +( z/x)² > x/y +y/z + z/x

Jolie , la 1ere methode ...

Merci M. Ahmed TAHA, avec vous on est toujours gagnant: j'ai proposé une méthode de 3ème choix et qu'est ce que je reçois? Je reçois en retour trois méthodes d'un niveau technique de 1er Choix.
Merci beaucoup.

aymanemaysae a écrit:

Merci M. Ahmed TAHA, avec vous on est toujours gagnant: j'ai proposé une méthode de 3ème choix et qu'est ce que je reçois? Je reçois en retour trois méthodes d'un niveau technique de 1er Choix.
Merci beaucoup.

de rien khoya aymanemaysae.