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 saisir les théorémes

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L-W-P
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MessageSujet: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyMer 05 Fév 2014, 12:34

A fin de bien saisir les théorèmes et bien les manipuler je propose de lancer un sujet consacré aux TH est ses applications.
On va traiter les théorèmes une par une.Chacune va prendre au maximum 3 jours.
pour commencer je préfère celle de l'inégalité triangulaire
comme EXO 1
montrer pour tous réels a,b
llal-lbll=<la-bl=<lal+lbl (c'est facile)
celui qui répond qu'il poste un exercice de l'inégalité triangulaire.
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legend-crush
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyMer 05 Fév 2014, 12:49

saisir les théorémes Gif_la82
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyMer 05 Fév 2014, 12:51

Exo 2: (C'est aussi facile)
Montrer que:
saisir les théorémes Gif_la83
Determinez le cas d'égalité
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyMer 05 Fév 2014, 13:15

REPONSE EXO 2
le fait c'est de constater ( a partir de exercice 1) que lal+lbl>=la-bl
alors lx+yl+lx+1l+ly+1l>=l1-yl+ly+1l>=2

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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyMer 05 Fév 2014, 18:43

cas d'égalité lorsque (x=1 et y=-1) ou (x=-1 et y=1)
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyMer 05 Fév 2014, 18:57

EXO 3
soient a.b.c les longueurs d'un triangle tels que a^2+b^2>5c^2
prouver que c est la plus petite longueur de ce triangle.
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyMer 05 Fév 2014, 19:27

S 3:
 

P 4:
 


Dernière édition par Ahmed Taha le Jeu 06 Fév 2014, 00:19, édité 3 fois
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyMer 05 Fév 2014, 19:37

c'est ça.A toi de poster un exo d'inégalité triangulaire.
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyJeu 06 Fév 2014, 05:50

Réponse exo 4
(c>a)----(2ac>2a^2) et (c>b)-----(2bc>2b^2)et(c^>b^2)et(b>a)---(2ab>a^2)
en sommant on va avoir
c^2+2ac+2ab+2bc>3a^2+3b^2
ce qui donne
(a+b+c)^2>4(a^2+b^2)


Dernière édition par L-W-P le Ven 07 Fév 2014, 07:25, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyJeu 06 Fév 2014, 12:43

exo 5
x,y des réels monter que
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cleft%20%7C%20x&plus;y%20%5Cright%20%7C%7D%7B1&plus;%5Cleft%20%7C%20x&plus;y%20%5Cright%20%7C%7D%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Cleft%20%7Cx%20%5Cright%20%7C%7D%7B1&plus;%5Cleft%20%7C%20x%20%5Cright%20%7C%7D&plus;%5Cfrac%7B%5Cleft%20%7C%20y%20%5Cright%20%7C%7D%7B1&plus;%5Cleft%20%7Cy%20%5Cright%20%7C%7D
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyJeu 06 Fév 2014, 13:40

L-W-P a écrit:
Réponse exo 4
(c>a)----(2ac>2a^2) et (c>b)-----(2ac>2b^2)et(c^>b^2)et(b>a)---(2ab>a^2)
en sommant on va avoir
c^2+2ac+2ab+2bc>3a^2+3b^2
ce qui donne
(a+b+c)^2>4(a^2+b^2)
Pourquoi 2ac> 2b^2 ??
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyJeu 06 Fév 2014, 16:31

L-W-P a écrit:
exo 5
x,y des réels monter que
saisir les théorémes Gif

S 5:
 
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyJeu 06 Fév 2014, 20:02

Ahmed Taha a écrit:
L-W-P a écrit:
Réponse exo 4
(c>a)----(2ac>2a^2) et (c>b)-----(2ac>2b^2)et(c^>b^2)et(b>a)---(2ab>a^2)
en sommant on va avoir
c^2+2ac+2ab+2bc>3a^2+3b^2
ce qui donne
(a+b+c)^2>4(a^2+b^2)
Pourquoi 2ac> 2b^2 ??
c'est 2bc>2b^2
PS: faute de frappe
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyJeu 06 Fév 2014, 20:04

quelqu'un poste un exo dans l'inégalité triangulaire.

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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyJeu 06 Fév 2014, 22:44

P 6:
 
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyVen 07 Fév 2014, 21:40

j'ai procedé ainsi
lab-cl = 3 <==> (ab)² + c² = 3 + 2abc > 0 ==> abc >= -3/2
On applique I.A.G : (a²+b²+c²) >= (3v)a²b²c² >= 3v(9/4) (3v) = racine troisiéme
mais je pense que abc doit etre positive :/
sinon quand abc < 0 j'ai trouvé que la plus petite valeure est 9
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyDim 09 Fév 2014, 00:03

M. Ahmed TAHA a proposé l'exercice suivant:
Soient a,b et c trois réels tels que : |ab−c|= 3. Trouver la plus petite valeur de l'expression a²+b²+c².

Voici une tentative de résolution de cet exercice:

       |ab-c| = 3 <--> (ab-c = 3 ou ab-c = -3) <--> (c=ab-3 ou c=ab+3)
<--> c^2 = a^2 b^2 + 9 - 6 ab ou c^2 = a^2 b^2 + 9 + 6 ab,
donc a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 - 6 ab ou a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 + 6 ab .

Comme a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 > 0 , donc dans le contexte de la recherche de la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2, on doit opter pour une valeur de (6 ab) ou (-6 ab) qui minimise a^2 + b^2 + c^2, donc on doit avoir (6 ab = - 6 |a| |b| ou - 6 ab = - 6 |a| |b|), donc dans les deux cas on a:

a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 - 6 |a||b| = (|a|-|b|)^2 + (|a||b| - 2)^2 + 5, expression qui est minimale quand elle est égale à 5, mais à condition que le système (|a|-|b|=0 et |a||b| - 2 = 0) soit solvable.
On a |a|-|b|= 0 et |a||b| - 2 = 0 <--> |a|= |b| et |a||b| = a^2 = 2 <--> |a|= |b| et |a| = 2^(1/2), donc le système est solvable, et par conséquent la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2 quand |ab−c|= 3 est 5.

Cette démonstration - si elle exempte d'erreurs - est très longue, et je suis sûr que M. Ahmed TAHA a une solution très élégante à nous proposer.
A propos, je le félicite pour la merveilleuse démonstration de l'exercice 5: l'astuce utilisé m'a permis de résoudre plusieurs exercices qui me tracassaient.
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyDim 09 Fév 2014, 07:49

En relisant ma démonstration, j'ai trouvé qu' il était préférable d' y introduire quelques modifications comme suit:
|ab-c| = 3 <--> (ab-c = 3 ou ab-c = -3) <--> (c=ab-3 ou c=ab+3)
<--> c^2 = a^2 b^2 + 9 - 6 ab ou c^2 = a^2 b^2 + 9 + 6 ab,
donc a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 - 6 ab ou a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + a^2 b^2 + 9 + 6 ab
<--> a^2 + b^2 + c^2 = (a^2 + b^2 - 2 ab) + (a^2 b^2 + 4 - 4 ab) + 5 ou a^2 + b^2 + c^2 = (a^2 + b^2 + 2 ab) + (a^2 b^2 + 4 + 4 ab) + 5
<--> a^2 + b^2 + c^2 = (a - b)^2 + (ab - 2)^2 + 5 ou a^2 + b^2 + c^2 = (a + b)^2 + (ab + 2)^2 + 5
donc dans les deux cas, la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2 quand |ab−c|= 3 est 5.

On peut généraliser cette méthode pour k >= 1/2 qui donne que la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2 quand |ab−c|= k est (2k - 1).
Pour k = 0, on a (ab = c) et la valeur minimale de a^2 + b^2 + c^2 quand |ab−c|= 0 est 0.

J’espère que c'est juste.
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyLun 10 Fév 2014, 12:24

Passant maintenant à une deuxième théorème celle de HÖLDER (Cauchy Schwartz)
comme exo 1
k et n sont de N , montrer que
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7Bi%7D%5E%7B2%7D%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7B6n%7D%7B%28n&plus;1%29%282n&plus;1%29%7D
celui qui répond qu'il poste un exercice dans cette théorème.


Dernière édition par L-W-P le Lun 10 Fév 2014, 16:59, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyLun 10 Fév 2014, 16:16

Permettez-moi de penser qu' il s'agit de "sigma 1/k^2" et non de "sigma 1/k".
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyLun 10 Fév 2014, 16:57

oui c'est ça pardon pour cette faute.
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyLun 10 Fév 2014, 17:11

saisir les théorémes Gif_la84
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyLun 10 Fév 2014, 17:22

voila a toi de poster
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyLun 10 Fév 2014, 17:26

Exercice 2:
saisir les théorémes Gif_la85
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes EmptyLun 10 Fév 2014, 17:36

solution exo 2
selon C.S
saisir les théorémes SkbAAAAAElFTkSuQmCC
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes Empty

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