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 caractérisation de fonction

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AuteurMessage
galillee56
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MessageSujet: caractérisation de fonction    Mar 11 Fév 2014, 16:40

trouver toute les fonction de R dans R qui préservent la longueur des intervalles. BONNE CHANCE Wink
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legend-crush
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MessageSujet: Re: caractérisation de fonction    Mar 11 Fév 2014, 17:15

Je ne sais pas si mon raisonnement est correct ni si j'ai le niveau suffisant pour aborder ce sujet, mais voici mes idées à son propos.
f préserve la longueur des intervalles veut dire que |f(a)-f(b)|=|a-b| pour tous a et b de R².
Ce qui implique si a différent de b |(f(a)-f(b))/(a-b)|=1 . Ceci veut dire que:
lim(a->b)|(f(a)-f(b))/(a-b)|=1 Ainsi f est dérivale en tout point de R et pour tout x de R f'(x)=1 ou f'(x)=-1.
Je ne sais comment mais on doit aboutir à f(x)=x+c ou f(x)=-x+c.
Si mon raisonnement est correct, veuillez me le signaler pour que je cherche plus Smile
Amicalement,
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galillee56
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MessageSujet: Re: caractérisation de fonction    Mar 11 Fév 2014, 17:36

c'est tres bien mais il y a un petit quelque chose qu'il faudra quand meme justfier car preserver la longueur veut plutot dire que f([a,a+h])=[x,x+h] a priori on ne voit pas pourquoi f(a)=x ou f(a)=x+h mais c'est vrai avec un petit argument on se ramene a ce que vous avez dit.
mais bien joue Wink
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PyTH-Ali
Féru


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MessageSujet: Re: caractérisation de fonction    Sam 15 Fév 2014, 21:54

Bonjour ,
Vous ne pouvez pas déduire que f est dérivable en a du fait que |f(x)-f(a)/(x-a)| admette une limite en a.
Par exemple si f est la fonction qui associe à chaque x associe |x| , pour a = 0 , alors |f(x)/x| = |x|/|x| = 1 donc le taux d'accroissement en valeur absolue tend bien vers 1 , sans que f soit dérivable en 0 !!

Il faudrait plutôt raisonner par l'absurde : prendre trois points distincts x , y ,z et supposer que f(x) - f(y) = x-y ; f(x) - f(z) = z-x.
On aboutit facilement à l'absurdité x = z ou x = y
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galillee56
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MessageSujet: Re: caractérisation de fonction    Dim 16 Fév 2014, 12:19

oui mais c'est toujours pas ca le probleme. le probleme serait de prouver que reelement |f(x)-f(y)|=|x-y| voila le probleme (d'ailleurs assez simple) apres c 'est pas grave le probleme est resolu
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: caractérisation de fonction    Lun 17 Fév 2014, 13:33

Bonjour , exercice intéressant !

Pour I partie non vide bornée de IR je note L(I) = sup I - inf I sa longueur .

:Star:soient x et y deux réels tels que x < y ,

les deux réels f(x) et f(y) appartiennent à l'ensemble f([x,y]) qui a par hypothèse la même longueur que [x,y]

on a donc |f(x) - f(y)| =< L(f([x,y])) = y - x

et f est alors 1- Lipschitzienne et en particulier continue .

Like a Star @ heaven soient x et y deux réels tels que x < y  et x1 , x2 deux éléments de [x,y] tels que f([x,y]) = [f(x1),f(x2)]

on a donc y - x = f(x2) - f(x1) =< |x1 - x2| =< y - x

et donc |x1 - x2| = y - x , c'est à dire ,  y - x = x1 - x2  si x1 > x2 , ou , y - x = x2 - x1  sinon

dans le premier cas , le réel y - x1 = x - x2 serait à la fois positif et négatif et donc nul , ce qui donne x = x2 et y = x1

et dans le second , le réel y - x2 = x - x1 serait à la fois positif et négatif et donc nul , ce qui donne x = x1 et y = x2

et dans les deux cas on a , |f(x) - f(y)| = y - x .  farao le reste est facile comme a dit Galilée
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galillee56
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MessageSujet: Re: caractérisation de fonction    Mar 18 Fév 2014, 21:24

c'est ca l'idee bien joue monsieur abdelali !
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