u_(n+1) = f(u_n). |f '(x)|=< 1

Bonjour.
Soit f : [a; b]---> [a; b] dérivable avec |f '(x)|=< 1. On fixe u_0 dans [a; b], et u_(n+1) = f(u_n).
Montrer que (u_(2n)) et (u_(2n+1)) convergent. Les limites de (u_(2n) et (u_(2n+1)) peuvent-elles être différentes ?

AA++

g(x) = f(x) + x
g'(x) >= 0 : g est croissante et donc u_(n+1) >= u_(n-1) si u_1 >= u_0 et u_(n+1) <= u_n si u_1<= u_0

Suites monotones bornées ....


Reste à trouver le contrex

f(x) = -x sur [-1..1] marche

bonjour tµtµ
g croissante n'implique pas forcément (u_n) monotone
AA+