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 Exo Tc

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legend-crush
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legend-crush

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MessageSujet: Exo Tc   Exo Tc EmptyDim 02 Mar 2014, 11:35

Exo Tc Gif.latex?soit%5C%20n%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BN%7D%5E*%2C%5C%20Montrer%5C%20que%3A%20%5C%5C%201+2+3+...+n%3D%5Cfrac%7Bn%28n+1%29%7D%7B2%7D%20%5C%5C%201%5E2+2%5E2+3%5E2+...+n%5E2%3D%5Cfrac%7Bn%28n+1%29%282n+1%29%7D%7B6%7D%20%5C%5C%20----------------%20%5C%5C%20Deduire%5C%20que%3A%20%5C%5C%201+2+3+...+n%5Cgeq%20n.%5Csqrt%7Bn%7D%20%5C%5C%201%5E2+2%5E2+3%5E2+...+n%5E2%5Cgeq%20n.%5Csqrt%7Bn%7D
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aminesm
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyDim 02 Mar 2014, 11:42

pour le 1:
A=1+2+3+...+n
A=n+(n-1)+(n-2)+...+1
2A=n+1+(n-1)+2+(n-2)+3+...+n+1
2A=n+1+n+1+n+1.....+n+1
2A=n(n+1)
A=[n(n+1)]/2
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aminesm
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyDim 02 Mar 2014, 12:00

indice pour la 3:
 
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mae24
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyLun 03 Mar 2014, 07:49

egalite 2, Indication
Spoiler:
 
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyLun 03 Mar 2014, 12:40

J'ai été vraiment très intéressé par cet exercice, surtout qu' il a été proposé par M. Legend_Crush: Les sommes des puissances sont très utiles dans de nombreux exercices et en facilitent la résolution, et pour ceux qui sont intéressés voici un lien qui donne une très bonne introduction pour le calcul des sommes des nombres entiers naturels grâce aux nombres de Bernouilli :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Bernoulli

Quant à l'exercice proposé, voici une solution dont la démarche se trouve dans de nombreux recueils mathématiques et qui peut être généralisée.
Exo Tc Sommes11
J'aimerai bien que M. Legend_Crush, me rassure sur l'exactitude du résultat que j'ai obtenu pour la deuxième inégalité.

Merci.
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyLun 03 Mar 2014, 17:25

En fait, pour la premier somme ya un million (hyperbole :p ) de méthode parmi lesquelles:
   1* S=1+2+...+n
       S=n+(n-1)+...+1
==>  2S=n(n+1) => S=n(n+1)/2

   2*  la méthode que vous avez proposé

   3* considérer un polynôme de degré 2 tq: P(x+1)-P(x)=x , déterminer le polynome,puis téléscoper Wink
   4* Réccurence <3
Pour la deuxième, je ne connais que 2 méthode, l'une est celle que vous avez uitlisé, la réccurence puis celle de considérer un polynome de degré 3 tq P(x+1)-P(x)=x² ...

Pour la première inégo, vous l'avez parfaitement résolu.
Pour la deuxième, au lieu de devellopper, j'ai pensé à faire comme suit:
Exo Tc Gif.latex?%5Cfrac%7Bn%28n&plus;1%29%282n&plus;1%29%7D%7B6%7D%3D%5Cfrac%7Bn%28n&plus;1%29%28n&plus;n&plus;1%29%7D%7B6%7D%5Cgeq%20%5Cfrac%7Bn2%5Csqrt%7Bn%7D
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyLun 03 Mar 2014, 19:46

Merci M. Legend_Crush, Je n'aurai jamais pensé à développer (2n + 1) en (n + n + 1): c'est une très jolie astuce que je viens de découvrir: Merci.
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyLun 03 Mar 2014, 21:01

Ah alors l'inégalité n'est pas aussi bonne que je le voulais, je viens de m'en rendre compte, ça doit être alors Exo Tc Gif . c'est moi qui a fait cet exo :p (s'il existait pas avant)
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyLun 03 Mar 2014, 21:09

jallais le dire Razz mais comme n^2>=n ca en decoule (comme n est un entier)
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mae24
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyVen 07 Mar 2014, 11:55

Salam,
Voici une autre démonstration.

http://www.4shared.com/office/k3hPoouFce/Demonstration_-_arabmaths.html
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyVen 07 Mar 2014, 13:47

M. Mae24, j'ai le regret de vous faire remarquer que le lien présumé de la "Démonstration" mène vers une page qui n'a aucune parenté avec les Mathématiques.
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mae24
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc EmptyVen 07 Mar 2014, 14:01

Salam,
Tu vas trouver sur ce lien un document que tu peux télécharger.
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MessageSujet: Re: Exo Tc   Exo Tc Empty

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