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 Joliii

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P.Coelho
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MessageSujet: Joliii   Joliii EmptyDim 02 Mar 2014, 11:58

Trouver tous les entiers n tels que 2^(n-1) divise n!
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elidrissi
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MessageSujet: Re: Joliii   Joliii EmptyDim 02 Mar 2014, 12:34

on a clairementt
Spoiler:
 
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MessageSujet: Re: Joliii   Joliii EmptyDim 02 Mar 2014, 12:35

Il nous faut montrer que les puissances deux sont les seules solutions. Dans un premier temps, on va montrer qu'elle le satisfaissent vraiment  puis, on démontrera qu'elle sont les seules. J'userai dans ma démo le théo. de Legendre:
Joliii Gif.latex?si%5C%20n%3D2%5Ek%2C%20alors%5C%202%5E%7Bn-1%7D%7Cn%21%20%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%20n-1%5Cleq%20%5B%5Cfrac%7B2%5Ek%7D%7B2%7D%5D+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek%7D%7B4%7D%5D+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek%7D%7B8%7D%5D+...+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek%7D%7B2%5Ek%7D%5D%20%5C%5C%20%5CLeftrightarrow%202%5Ek-1%5Cleq%202%5E%7Bk-1%7D+2%5E%7Bk-2%7D+2%5E%7Bk-3%7D+.
Joliii Gif.latex?si%5C%20mtn%5C%202%5Ek%3Cn%3C2%5E%7Bk+1%7D%5C%20%5CLeftrightarrow%20n%3D2%5Ek+p%5C%20avec%5C%200%3Cp%3C2%5E%7Bk+1%7D-2%5Ek%20%5C%5C%20on%5C%20va%5C%20montrer%5C%20que%5C%20n-1%5Cgeq%20%5Csum_%7Br%5Cgeq%201%7D%5B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%5Er%7D%5D%20%5C%5C%20%5Csum_%7Br%5Cgeq%201%7D%5B%5Cfrac%7Bn%7D%7B2%5Er%7D%5D%3D%5B%5Cfrac%7B2%5Ek+p%7D%7B2%7D%5D+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek+p%7D%7B4%7D%5D+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek+p%7D%7B8%7D%5D+...+%5B%5Cfrac%7B2%5Ek+p%7D%7B2%5Ek%7D%5D+0+0+...%20%5C%5C%20%5C%20%3D2%5Ek-1+%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%5D+%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7B4%7D%5D+%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7B8%7D%5D+...+%5B%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%5Ek%7D%5D%20%5C%5C%20%5Cleq%202%5Ek-1+%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7Bp%7D%7B4%7D+..
d'ou 2^{n-1} ne peut diviser n! si n n'est pas une puissance de 2

Conclusion: S={2^k  /kCN*}
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MessageSujet: Re: Joliii   Joliii EmptyMer 05 Mar 2014, 23:21

bien joué ^^
mais peux-tu m'expliquer le premier passage stp? je crains ne pas avoir compris :2^(n-1)|n! <==> [2^k/2]....  Embarassed merci bien de m eclairer
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MessageSujet: Re: Joliii   Joliii EmptyMer 05 Mar 2014, 23:51

2^(n-1)|n! <=> n-1 =< V_2(n!)
et j'ai remplacé V_2(n!) par l'expression de Legendre Very Happy
Amicalement
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MessageSujet: Re: Joliii   Joliii EmptyJeu 06 Mar 2014, 07:26

j'ai compris. merci bien Smile
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MessageSujet: Re: Joliii   Joliii EmptyJeu 06 Mar 2014, 13:09

voila une autre methode plus courte, basee sur la tienne (tout les honneurs te reviennent biensur)
2^(n-1) | n!Joliii 210
Joliii 310
ce qui donne le resultat demandé

L-C, a toi de poster un exo Smile
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