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 Préparation aux olympiades.

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nmo
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyVen 04 Avr 2014, 08:36

legend-crush a écrit:
lensemble des (x;y) tq (x+a)^2 + (y+b)^2 = r^2. correspond au cercle de centre (-a,-b) et de Rayon r.
On considère x²+y²=R² ,  qui constitue un cercle de centre O et de rayon r. il sagit alors de trouver la plus petite valeur de R tq les deux cercles se coupent. cad quand il seront tangeant. donc il clair que la valeur ne serait autre que R= |sqrt(a²+b² )-r| .
alors le max de x²+y² n'est autre que (sqrt(a²+b² )-r)²
jespère que je nai pas fait derreur. et désolé pour l'orthographe pourrie.
Et que dire si r était négatif. 
Par ailleurs, c'est une bonne façon de voir les choses.
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bianco verde
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyVen 04 Avr 2014, 18:39

L-crush -- a tooi de poster un exercice -- inegalite si possible !! ^^
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyVen 04 Avr 2014, 19:15

Préparation aux olympiades. - Page 11 Sans_t12
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aminesm
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyVen 04 Avr 2014, 19:24

demontrez que 1/9+1/16+1/25+...+1/n²<1
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyVen 04 Avr 2014, 19:39

pour ton prob utiliser 1/k² <1/k(k-1) =1/(k-1)-1/k
==> 1/9+1/16+1/25+...+1/n² < 1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5....+1/(n-1)-1/n= 1/2 -1/n < 1/2

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bianco verde
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyVen 04 Avr 2014, 19:44

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Dernière édition par bianco verde le Ven 04 Avr 2014, 19:56, édité 1 fois
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Amiral
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyVen 04 Avr 2014, 21:48

legend-crush a écrit:
Préparation aux olympiades. - Page 11 Sans_t12
D'aprés la formule de Héron  on a : s =sqrt (p(p-a)(p-b)(p-c)) où p=1/2(a+b+c) est le demi périmétre
d'aprés IAG on a : (p-a)(p-b)(p-c)=<((p-a+p-b+p-c)/3)^3=p^3/27
donc S²=<p^4/27 D'où S=p²/3sqrt(3)  càd 4S=< (a+b+c)²/sqrt(3)  (1)
Par ailleurs 2ab=<a²+b² , 2bc=<b²+c² et 2ca=<c²+a²
donc 2(ab+bc+ca)=<2(a²+b²+c²)
donc a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=<3(a²+b²+c²)
d'où (a+b+c)²=<3(a²+b²+c²) (2)
des relations (1) et (2) on déduit 4S=<a²+b²+c²/sqrt(3) CQFD
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Amiral
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyVen 04 Avr 2014, 21:52

exo 48 :  

Without using calculus, to find min. And max. Value of

Préparation aux olympiades. - Page 11 D819cfb3cfdde9fc1f410816a1a0f392d23b8cdc
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptySam 05 Avr 2014, 13:16

La fonction f: IR ---> IR
                  x i---> f(x) = sin x (1 - (sin x)^2)
est définie et dérivable sur IR , de plus elle est périodique de période 2 pi et impair, donc on peut faire notre étude sur [0;pi].

De plus, on a f(pi-x)=f(x), donc sur [0;pi] la courbe de f(x) admet un axe de symétrie d'équation y=pi/2, donc l'étude sera restreinte sur [0;pi/2].

On a aussi f'(x) = 3 cos x(racine(3)/3 + sin x) (racine(3)/3 - sin x) qui s'annule en racine(3)/3 sur [0;pi/2].

On a f'(x)> 0 sur ]0;pi/2[ et f'(x)< 0 sur ]pi/2;pi[, donc f admet un maximum en racine(3)/3,

donc sur [-pi;pi] on a f admet un maximum en racine(3)/3 et par suite en pi - racine(3)/3, et admet aussi des minimums en -racine(3)/3 et -pi + racine(3)/3 .
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bianco verde
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptySam 05 Avr 2014, 15:06

.


Dernière édition par bianco verde le Sam 17 Jan 2015, 21:16, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptySam 05 Avr 2014, 16:20

Préparation aux olympiades. - Page 11 Eqff10
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptySam 05 Avr 2014, 16:28

il y a une faute dans l'énoncé car f(x)=/=1
je pense que c'est f(0) ou f(1)
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyLun 07 Avr 2014, 21:40

Vous avez raison: f(1) = 1 et non f(x) = 1 .

Bonne chance.
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMar 08 Avr 2014, 16:11

Les visiteurs de cette page sont allés scruter d'autres horizons, donc pour les générations futures, voici une proposition de solution rédigée par l'auteur de l'exercice.

Préparation aux olympiades. - Page 11 Eqfonc10
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMar 08 Avr 2014, 18:56

Je propose cet exercice :
Prouver qu'il n'existe pas de quadruplets(x,y,z,t) d'entiers strictement positifs tels que :
x^2+y^2=3 (z^2+t^2)
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMar 08 Avr 2014, 21:31

3|x²+y² => 3|x et 3|y (on peut le montrer en etudiant les residus dun carré mod 3 )
==> 3|z²+t² => 3|z et 3|t
et on voit que si (x,y,z,t) solution alors (x/3,y/3,z/3,t/3) solution . contradiction selon le principe de la descente infinie.
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMer 09 Avr 2014, 07:35

Solution exercice 49
f(2002)=<f(2001)+1=<........=<2002    (*)     (utiliser f(1)=1)
f(2002)>=f(1997)+5>=..........>=f(2)+399*5+5
il ne reste que calculer f(2)
f(2)=<f(1)+1=< 2
f(2)>=f(-3)+5>=f(-3)+1+4>=f(-2)+4>=f(1)+1>=2
donc f(2)=2
d'où f(2002)=2002
et puis g(2002)=1.
Sauf erreur
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMer 09 Avr 2014, 22:57

legend crush a toi de poster un exercice !
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyVen 11 Avr 2014, 12:58

.


Dernière édition par bianco verde le Sam 17 Jan 2015, 21:17, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyLun 14 Avr 2014, 22:27

Exercice 50 :
Trouver toutes les applications de |R sur |R telles que
f(x^2+y)=f(y^2)+f(x)
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMar 15 Avr 2014, 20:58

PERSONNE !!! Shocked Shocked Shocked Shocked 
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMer 16 Avr 2014, 13:04

solution exo 50
P(0;0)----> f(0)=0
P(x,-x^2) ----> f(0)=f(x^4)+f(x^2)  -----> f(x^4)=-f(x^2)
P(x;0)---> f(x^2)=f(x)
P(x,x^2) ------> f(2x^2)=f(x^4)+f(x) -----> f(2x^2)=0 ----> f(x^2)=0 ---> f(x)=0
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMer 16 Avr 2014, 19:16

Pourquoi  f(2x^2)=0 ----> f(x^2)=0 ... ? Est-ce qu'on ne doit rien prouver avant ?
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMer 16 Avr 2014, 19:40

on remplace x par (x/sqrt(2))
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 EmptyMer 16 Avr 2014, 20:52

On remplace dans f(2x^2)=0
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MessageSujet: Re: Préparation aux olympiades.   Préparation aux olympiades. - Page 11 Empty

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