Test n°3 Olympiade TSM 2014

Exercice 1 :
Peut-on écrire le nombre sous forme où et sont des nombres entiers relatifs ?

Exercice 2 :
Trouver toutes les fonctions surjectives telles que pour tout .

Exercice 3 :
Soient et trois nombres réels strictement positifs tels que :
Montrer que :

Exercice 4 :
Soit ABC un triangle à angles aigus avec , M le milieu du côté [AC], N le point où la médiane (BM) rencontre à nouveau le cercle circonscrit au triangle ABC, H l'orthocentre du triangle ABC, D le point sur le cercle circonscrit pour lequel l'angle et K le point tel que ANCK est un parallélogramme. Montrer que les droites (AC),(KH) et (BD) sont concourantes.

Pour moi voici ce que j'ai fais :

Solutions :

Pour l'exercice 1, on a 2013 = x^3 - y^3 = (x - y)((x - y)^2 + 3 xy)= (x - y)^3 + 3 xy(x - y) , donc on a xy = (2013 - (x - y)^3)/(3(x - y)) qui doit être un entier relatif.

Les diviseurs de 2013 sont: 1; 3; 11; 61; 33; 183; 671; 2013 et leurs conjugués, donc (x - y) peut prendre l'une de ces valeurs, et par simple calcul on obtient que (2013 - (x - y)^3)/(3(x - y)) n'est pas un nombre entier relatif, donc 2013 ne peut pas s'écrire sous la forme d'une différence de cubes d'entiers relatifs.


J'ai proposé cette solution pour inviter tous les amis à apporter de l'aide - dans la limite du possible - à M. Komikomi qui a des difficultés pour résoudre un exercice sur les rotations dans un plan complexe.


Merci.

Mercii pr le partage

Pour la 1er qestion , j'ai pas compris le passage où x-y=< alors x-y £ (1,3,11)  

Amiral a écrit:

Pour la 1er qestion , j'ai pas compris le passage où x-y=< alors x-y £ (1,3,11)  

On a 2013=(x-y)(x²+xy+y²) donc 0<x-y<12
les diviseurs de 2013 qui appartiens a [0,12] sont 1,3 et 11
alors x-y £ (1,3,11).

elmrini a écrit:

Amiral a écrit:

Pour la 1er qestion , j'ai pas compris le passage où x-y=< alors x-y £ (1,3,11)  

On a 2013=(x-y)(x²+xy+y²) donc 0<x-y<12
les diviseurs de 2013 qui appartiens a [0,12] sont  1,3 et 11
alors x-y £ (1,3,11).

Ah , j'ai pas fait l'intention    mercii