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  Problème juillet 2014

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Problème juillet 2014   Lun 28 Avr 2014, 15:27

Soit E un espace de Banach, f une application de E dans E linéaire continue injective  et (x_n) une suite bornée de E telle que f(x_n) ---> 0.  A-t-on  x_n--->0 ? justifier votre réponse.

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galillee56
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MessageSujet: Re: Problème juillet 2014   Jeu 01 Mai 2014, 11:19

si E de dim finie oui: car si l une valeur d'adherence differente de 0 de la suite x_n differente de 0 on x_phi(n) tend vers l f est continue donc f(x_phi(n)) tend vers f(l) differente de 0 impossible donc l ensemble des valeurs d'adherence ne peut etre que 0 xn tend vers 0
si E dim infinie aussi je pense: on a f est injective donc bijective de E dans f(E) on designe par f^(-1) la reciproque de f definie de f(E) dans E on a f^(-1) est continue il existe k dans R tq ||f^(-1)(x)||<k||x|| pour tout x dans f(E) donc maintenant x=f(xn-xm) donc ||xn-xm||<k||f(xn)-f(xm)|| elle est de cauchy donc elle converge vers l qui sera forcement 0 sauf erreur
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Problème juillet 2014   Ven 02 Mai 2014, 09:18

galillee56 a écrit:
si E de dim finie oui: car si l une valeur d'adherence differente de 0 de la suite x_n differente de 0 on x_phi(n) tend vers l  f est continue donc f(x_phi(n)) tend vers f(l) differente de 0 impossible donc l ensemble des valeurs d'adherence ne peut etre que  0 xn tend vers 0
si E dim infinie aussi je pense: on a f est injective donc bijective de E dans f(E) on designe par f^(-1) la reciproque de f definie de f(E) dans E on a f^(-1) est continue il existe k dans R tq ||f^(-1)(x)||<k||x|| pour tout x dans f(E) donc maintenant x=f(xn-xm) donc ||xn-xm||<k||f(xn)-f(xm)|| elle est de cauchy donc elle converge vers l qui sera forcement 0 sauf erreur

f^(-1) est continue à justifier !
On a :
si f(E) est fermé alors f^(-1) est continue ( th de Banach)
et si f(E) n'est pas fermé ?

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