Aide pour les futurs mathématiciens
 
AccueilAccueil  PortailPortail  RechercherRechercher  S'enregistrerS'enregistrer  Connexion  

Partagez
 

 JEU D'ÉTÉ 2014 .

Aller en bas 
Aller à la page : 1, 2, 3  Suivant
AuteurMessage
bianco verde
Maître
bianco verde

Masculin Nombre de messages : 208
Age : 21
Localisation : la terre
Date d'inscription : 19/12/2013

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyMar 17 Juin 2014, 14:57

Voila; que chacun se sente libre de participer ! Les regles sont bien connues ( surtout numérotez les exos )

EXERCICE 1:     Résoudre l'equation diophantienne suivante   x^2-2y^4=1

A Vos Stylos Razz Razz
Revenir en haut Aller en bas
bianco verde
Maître
bianco verde

Masculin Nombre de messages : 208
Age : 21
Localisation : la terre
Date d'inscription : 19/12/2013

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyMar 17 Juin 2014, 15:39

Entiers naturels ! Dsl !
Revenir en haut Aller en bas
elidrissi
Maître
elidrissi

Masculin Nombre de messages : 258
Age : 22
Localisation : maths land
Date d'inscription : 03/06/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyMar 17 Juin 2014, 15:44

EXERCICE 1
Spoiler:
 
Revenir en haut Aller en bas
elidrissi
Maître
elidrissi

Masculin Nombre de messages : 258
Age : 22
Localisation : maths land
Date d'inscription : 03/06/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyMar 17 Juin 2014, 15:55

si c est correct je propose de commencer avec un peu de combi Smile
exercice 2
pour un groupe S={1;2;3;4...n} on definit la somme alternative d un sous-ensemble comme suit :
-organiser les elements par ordre decroissant
-alterner somme et soustraction es elements
exemple, le sous ensemble {3;6;9;2;7} --> 9-7+6-3+1=6
pour n=7 calculer la somme des sommes alternatives de tout les sous-ensembles de S

bonne chance
Revenir en haut Aller en bas
bianco verde
Maître
bianco verde

Masculin Nombre de messages : 208
Age : 21
Localisation : la terre
Date d'inscription : 19/12/2013

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyMer 18 Juin 2014, 22:17

En attendant que ElIdrissi poste la réponse ... je propose l exo 3
Montrer que si4^n + 2^n +1 est premier .. n est une puissance de 3
Hard luck. Very Happy
Revenir en haut Aller en bas
legend-crush
Expert sup
legend-crush

Masculin Nombre de messages : 545
Age : 22
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 25/12/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyJeu 19 Juin 2014, 11:23

Exo 2 solution:
soit k de S_7, on calculera combien de fois ce k sera précédé d'un + et cb de fois sera-t-il précédé d'un -
les "-" : il s'agit du nombre de sous ensembles où k a une position pair.
et c'est JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif
Pour les + , cest le nbre de sous ensembles ou k a une position impaire. et C'est:
Donc pour un k donné =/= 7, au total nous aurons :  
JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.latex?%28%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7BE%28%5Cfrac%7B7-k%7D%7B2%7D%29%7DC_%7B7-k%7D%5E%7B2t%7D-%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7BE%28%5Cfrac%7B6-k%7D%7B2%7D%29%7DC_%7B7-k%7D%5E%7B2t+1%7D%29*%282%5E%7Bk-1%7D%29%20%5C%5C%20%3D%20%28%5Csum_%7Bt%3D0%7D%5E%7Bt%3D7-k%7DC%5Et_%7B7-k%7D.%28-1%29%5Et%29*2%5E%7Bk-1%7D%3D%281-1%29%5E%7B7-k%7D
Il nous reste alors le cas de k=7, dans lequel  on n'aura que des + dont le nombre est de 2^6
Ce qui fait que la somme des sommes alternatives est de 7.2^6
Revenir en haut Aller en bas
legend-crush
Expert sup
legend-crush

Masculin Nombre de messages : 545
Age : 22
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 25/12/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyJeu 19 Juin 2014, 11:52

Exercice 3: solution
on suppose que n n'est pas une puissance de 3 et on pose n=3^k .m avec m premier avec 3
On va demontrer dans ce cas que 4^n + 2^n +1 ne peut etre premier .
On pose 2^(3^k)=x alors JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif
On montre par reccurence que JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif
Par rapport a m=1 ou m=2 c'est Clair .
JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.latex?x%5E%7B2m%7D+x%5Em+1%3D%20%7B%5Ccolor%7BRed%7D%20x%5E%7B2m-6%7D+x%5E%7Bm-3%7D+1%7D+x%5E%7B2m%7D+x%5Em-x%5E%7B2m-6%7D-x%5E%7Bm-3%7D%20%5C%5C%20%3D%20%28x%5E2+x+1%29.K+x%5E%7B2m-6%7D%28x%5E6-1%29%20+x%5E%7Bm-3%7D%28x%5E3-1%29%20%5C%5C%20%3D%20%28x%5E2+x+1%29
cette recurrence est mal faite, car en fait jaurais du en faire 2, une pour le cas de 3k+1 et une autre pour 3k+2.
Ainsi pour tout m premier avec 3, 4^n + 2^n +1 nest pas premier , ce qui prrouve que n doit etre une puissance de 3 . Very Happy
Revenir en haut Aller en bas
legend-crush
Expert sup
legend-crush

Masculin Nombre de messages : 545
Age : 22
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 25/12/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyJeu 19 Juin 2014, 11:53

Désolé pour la mauvaise redaction :/
Revenir en haut Aller en bas
legend-crush
Expert sup
legend-crush

Masculin Nombre de messages : 545
Age : 22
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 25/12/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyJeu 19 Juin 2014, 18:10

Desolé pour le retard :/
Exercice 4:
trouver toutes les fonctions de R vers R tq, pour tous x,y de R²:
f(f(x)-f(y))=(x-y)².f(x+y)
Revenir en haut Aller en bas
bianco verde
Maître
bianco verde

Masculin Nombre de messages : 208
Age : 21
Localisation : la terre
Date d'inscription : 19/12/2013

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyVen 20 Juin 2014, 20:26

f (x)=0 .. f (x)=x^2...f (x)=-x^2 Je posterai la soluc apres . Je propose donc cet exercice : Montrer que n^2 divise (n+1)^n - 1
Bonne chance.
Revenir en haut Aller en bas
elidrissi
Maître
elidrissi

Masculin Nombre de messages : 258
Age : 22
Localisation : maths land
Date d'inscription : 03/06/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyVen 20 Juin 2014, 20:31

(n+1)^n -1 =sum i=1 a i=n de C(i;n).n^i
n^2 divise clairement (n+1)^n -1 -n .C(1;n)
il suffit de preouver que n^2 | n .C(1;n) ou n|C(1;n) =n
CQFD
Revenir en haut Aller en bas
elidrissi
Maître
elidrissi

Masculin Nombre de messages : 258
Age : 22
Localisation : maths land
Date d'inscription : 03/06/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyVen 20 Juin 2014, 20:48

a fair coin is tossed 10 times, what is the probability that two heads never occur 2 times in a row
Revenir en haut Aller en bas
legend-crush
Expert sup
legend-crush

Masculin Nombre de messages : 545
Age : 22
Localisation : Rabat
Date d'inscription : 25/12/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyVen 20 Juin 2014, 20:52

Pour lexercice 5 une autre solution:
JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 26
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 00:08

elidrissi a écrit:
2y^4=(x-1)(x+1)
il est clair que PGCD(x-1 ; x+1) =2 ou 1
on a donc
x+1 =2^a .p^4
x-1 =2^b .q^4
La première des choses à remarquer c'est qu'il n'y a aucune relation entre ce que tu as posé et le PGCD.
elidrissi a écrit:
2=2^a .p^4 -2^b.q^4 avec p et q impaires
cas 1:
a=0 <==>b=0
Je ne vois pas pourquoi on a forcément p et q impairs, ni comment si a=0 alors b=0.
Je n'ai pas complété la lecture de la solution proposée...
Je te propose le document suivant, même s'il ne répond pas à l'exercice proposé mais il donne une méthode: http://arxiv.org/ftp/math/papers/0703/0703391.pdf.
Et je doute bien que cet exercice possède une solution unique, sauf si quelqu'un apporte une démonstration rigoureuse.


Dernière édition par nmo le Dim 22 Juin 2014, 08:49, édité 1 fois
Revenir en haut Aller en bas
elidrissi
Maître
elidrissi

Masculin Nombre de messages : 258
Age : 22
Localisation : maths land
Date d'inscription : 03/06/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 00:36

enfait si c est un resultat bien connu
si a.b=x^n avec pgcd(a;b)=1 on a forcement a et b des n-iemes puissances d un naturel
ca en decoule
p et q , dependent de notre choix. c est comme poser 192=3x2^6
en d autre terme on a : a=V2(x-1) et b=V2(x+1)
a=0 <==>2^a .p^ =1 [2] <==> 2^b .q^4 =1 [2] <==> b=0
parceque leur soustraction est paire.
sauf erreur

et il n y a qu une seule solution, je m'en suis assuré aupres de celui qui l'as posé
sur ce , bonne soiré

Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 26
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 08:56

elidrissi a écrit:
enfait si c est un resultat bien connu
si a.b=x^n avec pgcd(a;b)=1 on a forcement a et b des n-iemes puissances d un naturel
ca en decoule
p et q , dependent de notre choix. c est comme poser 192=3x2^6
en d autre terme on a : a=V2(x-1) et b=V2(x+1)
Donc, il te reste de traiter le cas où le PGCD est égale à 2.
elidrissi a écrit:
a=0 <==>2^a .p^ =1 [2] <==> 2^b .q^4 =1 [2] <==> b=0
parceque leur soustraction est paire.
Pourquoi on ne peut pas avoir p impair et q pair?

Revenir en haut Aller en bas
elidrissi
Maître
elidrissi

Masculin Nombre de messages : 258
Age : 22
Localisation : maths land
Date d'inscription : 03/06/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 13:13

non non parceque j ai multiplié par 2^a et 2^b ce qui donne les deux cas, le cas de PGCD=2 si a=1 et b>=2 ou b=1 et a>=2 , et le cas ou PGCD =1 quand a=b=0
mais c est clair .__. p et q dependent de notre choix
on a choisi a tel que 2^a || x-1 donc p est forcement impair
et on a chosi b tel que 2^b || x+1 donc q est forcement impair
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 26
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 17:23

elidrissi a écrit:
non non parceque j ai multiplié par 2^a et 2^b ce qui donne les deux cas, le cas de PGCD=2 si a=1 et b>=2  ou b=1 et a>=2 , et le cas ou PGCD =1 quand a=b=0
mais c est clair .__. p et q dependent de notre choix
on a choisi a tel que 2^a || x-1 donc p est forcement impair
et on a chosi b tel que 2^b || x+1 donc q est forcement impair
On a JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.latex?PGCD(2^ap^4,2^bq^4)=2^{\min(a,b)}.
Que ce PGCD vaut 1 ou 2, on aura JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.
On aura aussi: JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.latex?2^{a+b}.
Ces deux choses que tu as ne te donnent pas le droit que de dire que p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux.
Tout ce que je cherche est que la solution proposée soit rigoureuse.
Revenir en haut Aller en bas
elidrissi
Maître
elidrissi

Masculin Nombre de messages : 258
Age : 22
Localisation : maths land
Date d'inscription : 03/06/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 18:38

tout nombre relatif non nul peut etre ecrit de facon unique sous forme de produit d un nombre impaire
et d une puissance de 2
je ne vois toujours pas ou est le probleme ni pourquoi ma solution est incomplete
Revenir en haut Aller en bas
bianco verde
Maître
bianco verde

Masculin Nombre de messages : 208
Age : 21
Localisation : la terre
Date d'inscription : 19/12/2013

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 20:59

@nmo Rassurez vous , il existe bel et bien une solution unique... je posterai la solution juste apres + la solution de l equation fonctionnelle.
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 26
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 21:13

elidrissi a écrit:
tout nombre relatif non nul  peut etre ecrit de facon unique sous forme de produit d un nombre impaire
et d une puissance de 2
je ne vois toujours pas ou est le probleme ni pourquoi ma solution est incomplete
Il fallait normalement raffiner les choses:
Si on appelle a et b les valuations 2-addiques de x+1 et de x-1 respectivement, alors ils existent des entiers naturels m et n tels que: JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif et JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.
Et on aura donc: JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.latex?PGCD(x+1,x-1)=2^{\min(a,b)}.
Que ce PGCD vaut 1 ou 2, on aura JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.
On aura encore JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.latex?2^{a+b}.
Et par un argument de parité, on déduit: JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif, et que JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.
Et c'est à ce stade qu'on peut écrire JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif et JEU D'ÉTÉ 2014 . Gif.
Et avec toutes ces égalités, on ne peut pas avoir l'équivalence entre a=0 et b=0 car la somme de ces entiers vaut 1.
Je te laisse vérifier ton premier cas.
Revenir en haut Aller en bas
elidrissi
Maître
elidrissi

Masculin Nombre de messages : 258
Age : 22
Localisation : maths land
Date d'inscription : 03/06/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 21:24

ca ne sert a rien de se compliquer la vie
(x+1)(x-1)=2^(a+b).mn =2.y^4 avec m et n impaires et premiers entre eux ==> m et n sont des 4-iemes puissances d un entier

et c est justement le fait qu ils ne somment pas un 1 qui mene a une contradiction . je ne vois pas ou est le probleme
x-1=2^a .p^4
x+1 =2^b .q^4
leur difference est paire, donc si l un d x-1 et x+1 est impair l autre est impaire aussi! ce qui mene justement a la contradiction
Revenir en haut Aller en bas
nmo
Expert sup


Masculin Nombre de messages : 2246
Age : 26
Localisation : Elgara
Date d'inscription : 29/10/2009

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 22:10

elidrissi a écrit:
ca ne sert a rien de se compliquer la vie
(x+1)(x-1)=2^(a+b).mn =2.y^4 avec m et n impaires et premiers entre eux ==> m et n sont des 4-iemes puissances d un entier
C'est le résumé de ce que j'ai dit dans mon message d'avant, et qui n'était pas explicite dans ta solution.
Même si ta réponse n'est pas bien rédigé, j'ai bien arrivé à l'endroit où tu as commis une erreur d'inattention:
elidrissi a écrit:
1=p^4 -2q^4
une solution plus petite a l equation d origine
En effet, le 2 n'existe pas et on tombe rapidement sur p=1 et q=0.
Et cela donne bien l'unique couple solution (1,0).
Revenir en haut Aller en bas
elidrissi
Maître
elidrissi

Masculin Nombre de messages : 258
Age : 22
Localisation : maths land
Date d'inscription : 03/06/2012

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 22:19

ca ne sert a rien de mentionner l evident , ca decoule directement de ce qui viens avant
Revenir en haut Aller en bas
bianco verde
Maître
bianco verde

Masculin Nombre de messages : 208
Age : 21
Localisation : la terre
Date d'inscription : 19/12/2013

JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . EmptyDim 22 Juin 2014, 23:01

x^2-2y^4=1 passant par modulo 4 on a y=2b  donc (x-1)(x+1)=2^5*b^4  
Considerons deux cas  x=4a+1 ... x=4a-1
1)  x=4a+1 ==>  8a (2a+1)=2^5*b^4 ==> a=4m ==> m (8m+1)=b^4 le discriminant est egal a 1+32b^4 (imperativement un carre parfait) ==> 1+32b^4=d^2 ==> 32b^4=(d-1)(d+1)
Considerons autre fois 2 cas --
A) Si d=1(16)  b^4= (d-1)/16 (d+1)/2  comme pgcd (d+1/2 ; d-1/16)=1 on a d=16u^4+1  et d=2v^4-1  ==>8u^4=v^4-1 ==> v=2p+1 l equation se reecrit  p (p+1)(2p^2+2p+1)=u^4 comme le pgcd de ces 3 facteurs est 1 .. on a p=n^4 et p+1 =m^4  d'ou n^4+1=m^4 (impossible par Fermat-Wiles sauf pour p=0 d'ou en remontant on truve la solution (0; 1)
b) si d=-1 (16)  d=2u^4+1  et d=16v^4-1  ==> 8v^4-1=u^4 impossible mod 4 .
2) Cas ou x=4a-1  ==> 8a (2a-1)=2y^4 comme y=2b  a(2a-1)=2b^4  d''ou.  a=4m d ou   m (8m-1)=b^4  le discriminant est le mm du cas 1 ... CQFD
Revenir en haut Aller en bas
Contenu sponsorisé




JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty
MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . Empty

Revenir en haut Aller en bas
 
JEU D'ÉTÉ 2014 .
Revenir en haut 
Page 1 sur 3Aller à la page : 1, 2, 3  Suivant
 Sujets similaires
-
» Veggie Pride 2014 à Paris
» GUADELOUPE Mutation intra 2014
» Partir en mission humanitaire plus offre de stage 2013-2014
» Imbolc 2014
» "Romans de la fin d'un monde" : une bibliographie (agrégation lettres modernes 2014-2015)

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Forum des amateurs de maths :: Olympiades :: Divers-
Sauter vers: