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 JEU D'ÉTÉ 2014 .

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bianco verde
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bianco verde

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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 EmptyMar 23 Sep 2014, 12:46

En attendant une solution complete au probleme que j'ai proposé , je vous invite NMO , a proposer un exercice ( en arithmetique si possible ) . Merci d'avance ..
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galillee56
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 EmptyMar 23 Sep 2014, 13:44

bianco verde a écrit:
a moi ;Soit m etn deux entiers naturels ,  montrer que si 24|mn+1 alors 24|m+n
solution: pour tout n premier avec 24 on n^2=1 mod24 on mn=-1 mod24 donc m et n premier 24 m=-n^(-1) mod24 ( n^(-1) est l'inverse de n dans Z/24Z) m+n=n-n^(-1)mod 24 =n^(-1)(n^2-1) mod 24=0 mod 24
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galillee56
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 EmptyMar 23 Sep 2014, 13:46

exo arithemetique: soit a et b dans N tq pour tout n dans N b^n-1 divise a^n-1 montrer qu'il existe d dans N tq a=b^d
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legend-crush
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 EmptyMar 23 Sep 2014, 18:10

bon on a 24|mn+1 alors il suffit de montrer que 24|(m-1)(n-1) ou 24|(m+1)(n+1) pour conclure.
comme GCD(3,m)=1 alors 3|m-1 ou 3|m+1 , par symetrie on prend 3|m+1
ensuite m et n sont impair , il suffit de montrer que l'un des deux est congru a 3 mod 4 , supposont que le 2 =1(mod 4) alors mn+1=2(mod 4) impossible d'ou m ou n=3(mod 4) ainsi 8|(m+1)(n+1)
et 3|(m+1)(n+1)
alors 24|(m+1)(n+1)
le reste en découle
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bianco verde
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 EmptyMar 23 Sep 2014, 19:51

ULM Very Happy
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galillee56
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 EmptyMar 23 Sep 2014, 22:52

Oui c'est un exo d'ulm mais très abordable
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nmo
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 EmptyMer 24 Sep 2014, 17:59

galillee56 a écrit:
exo arithemetique: soit a et b dans N tq pour tout n dans N a^n-1 divise b^n-1 montrer qu'il existe d dans N tq b=a^d
Je propose ma solution:
Je pense qu'il faut éliminer le cas où JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif car il ne permet pas de conclure.
Premièrement, on s'en sert des deux hypothèses JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif et JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif pour démontrer que JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Soit JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif, alors ils existent deux entiers JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif et JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif tels que: JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif, JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif et JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Puisqu'on a JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif, alors JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif et il va exister un entier JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif tel que JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Ce qui donne JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif, soit JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif et donc JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Cela se traduit par l'existence d'un entier JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif tel que JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Alors JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif, soit JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Donc JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif, et du coup JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Alors JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.==>(1)
De même, on aboutit à JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Cette dernière égalité s'écrit: JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Si JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif, et sachant que JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif ne peut diviser que lui même il s'ensuit que JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Sinon, on aura JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.==>(2)
En sommant (1) et (2), on aura que JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
On aura alors: JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif et par suite JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Il existe alors JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif tel que JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
On a ainsi: JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Et on continue ainsi: à l'étape JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif, on écrit: JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif et on a JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
(On a: JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.latex?(\forall n\in\mathbb{N}):a^n-1|b^n-1-(a^n-1)=b^n-a^n=a^n(a^{in}, donc JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.latex?(\forall n\in\mathbb{N}):a^n-1|a^{in} car JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Donc JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.latex?(\forall n\in\mathbb{N}):a^n-1|a^{in}.d_i^n-1-(a^n-1)=a^n(a^{(i-1)n}, soit pour la même raison JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Et on continue ainsi jusqu'à: JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.)
Pour JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif fixé, la suite JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif est décroissante minorée, donc convergente.
S'agissant d'une suite d'entiers, elle est stationnaire à partir d'un certain entier JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Par conséquent, la suite tend vers JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif qui va être inférieur à JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
On a donc deux cas: JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif ou JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
Dans tous les cas, c'est gagné et on a JEU D'ÉTÉ 2014 . - Page 3 Gif.
CQFD.
Sauf erreurs.
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