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 JEU D'ÉTÉ 2014 .

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bianco verde
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   Mar 23 Sep 2014, 12:46

En attendant une solution complete au probleme que j'ai proposé , je vous invite NMO , a proposer un exercice ( en arithmetique si possible ) . Merci d'avance ..
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galillee56
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   Mar 23 Sep 2014, 13:44

bianco verde a écrit:
a moi ;Soit m etn deux entiers naturels ,  montrer que si 24|mn+1 alors 24|m+n
solution: pour tout n premier avec 24 on n^2=1 mod24 on mn=-1 mod24 donc m et n premier 24 m=-n^(-1) mod24 ( n^(-1) est l'inverse de n dans Z/24Z) m+n=n-n^(-1)mod 24 =n^(-1)(n^2-1) mod 24=0 mod 24
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galillee56
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   Mar 23 Sep 2014, 13:46

exo arithemetique: soit a et b dans N tq pour tout n dans N b^n-1 divise a^n-1 montrer qu'il existe d dans N tq a=b^d
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legend-crush
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   Mar 23 Sep 2014, 18:10

bon on a 24|mn+1 alors il suffit de montrer que 24|(m-1)(n-1) ou 24|(m+1)(n+1) pour conclure.
comme GCD(3,m)=1 alors 3|m-1 ou 3|m+1 , par symetrie on prend 3|m+1
ensuite m et n sont impair , il suffit de montrer que l'un des deux est congru a 3 mod 4 , supposont que le 2 =1(mod 4) alors mn+1=2(mod 4) impossible d'ou m ou n=3(mod 4) ainsi 8|(m+1)(n+1)
et 3|(m+1)(n+1)
alors 24|(m+1)(n+1)
le reste en découle
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bianco verde
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   Mar 23 Sep 2014, 19:51

ULM Very Happy
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galillee56
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   Mar 23 Sep 2014, 22:52

Oui c'est un exo d'ulm mais très abordable
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nmo
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   Mer 24 Sep 2014, 17:59

galillee56 a écrit:
exo arithemetique: soit a et b dans N tq pour tout n dans N a^n-1 divise b^n-1 montrer qu'il existe d dans N tq b=a^d
Je propose ma solution:
Je pense qu'il faut éliminer le cas où car il ne permet pas de conclure.
Premièrement, on s'en sert des deux hypothèses et pour démontrer que .
Soit , alors ils existent deux entiers et tels que: , et .
Puisqu'on a , alors et il va exister un entier tel que .
Ce qui donne , soit et donc .
Cela se traduit par l'existence d'un entier tel que .
Alors , soit .
Donc , et du coup .
Alors .==>(1)
De même, on aboutit à .
Cette dernière égalité s'écrit: .
Si , et sachant que ne peut diviser que lui même il s'ensuit que .
Sinon, on aura .==>(2)
En sommant (1) et (2), on aura que .
On aura alors: et par suite .
Il existe alors tel que .
On a ainsi: .
Et on continue ainsi: à l'étape , on écrit: et on a .
(On a: , donc car .
Donc , soit pour la même raison .
Et on continue ainsi jusqu'à: .)
Pour fixé, la suite est décroissante minorée, donc convergente.
S'agissant d'une suite d'entiers, elle est stationnaire à partir d'un certain entier .
Par conséquent, la suite tend vers qui va être inférieur à .
On a donc deux cas: ou .
Dans tous les cas, c'est gagné et on a .
CQFD.
Sauf erreurs.
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MessageSujet: Re: JEU D'ÉTÉ 2014 .   

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