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 Problème de damier

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AuteurMessage
bayouss
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Nombre de messages : 6
Date d'inscription : 17/07/2006

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MessageSujet: Problème de damier   Problème de damier EmptyDim 14 Jan 2007, 04:21

Problème :
Les entiers 1, 2, . . . , n2 sont répartis dans les cases d'un damier n × n de sorte que pour
chaque ligne et chaque colonne la somme des nombres écrits soit la même (un nombre par
case). Pour tout choix de deux cases distinctes, on construit un vecteur dont l'origine est le
centre de la case de plus petit numéro et l'extrémité est le centre de la case de plus grand
numéro. Prouver que la somme de tous ces vecteurs est nulle.
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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui

Masculin Nombre de messages : 2558
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Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Re: Problème de damier   Problème de damier EmptySam 20 Jan 2007, 12:36

Soit c la constante = somme d'une ligne ou d'une colonne.
==>1+2+...+n²=nc ==> c=n(n²+1)/2.
Soit (n(i,j)) 1=<i,j=<n , le damier rempli par {1,2,...,n²} où n(i,j) étant dans la case de la iéme ligne et de la jéme colonne.
On a alors pour tout i,j : n(i,1)+...+n(i,n)=n(1,j)+...+n(n,j)=c.

Pour k de 1 à n², il existe un couple unique (i,j) de {1,..,n}² tel que
n(i,j)=k. Ils existent alors f et g deux applications de {1,...,n²} dans {1,..,n}. telles que n(f(k),g(k))=k pour tout k de 1 à n².
Pour (k,h) de I={ (k,h) de {1,..,n²}² tel que k<h}, le vecteur d'origine k et d'extrémité h a pour coordonnées (f(h)-f(k),g(h)-g(k)). Il s'agit alors de montrer que :
A=(sum sur (k,h) de I)(f(h)-f(k))=0 et B=(sum sur (k,h) de I)(g(h)-g(k))=0
à suivre ...

_________________
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Problème de damier
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