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 Condition suffisante de convexité

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Mohammed_Lahlou
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MessageSujet: Condition suffisante de convexité   Mer 30 Juil 2014, 21:28

Soit une une fonction continue, telle que pour réels,
montrer que est convexe
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Condition suffisante de convexité   Jeu 31 Juil 2014, 11:03

D={m/2^n : m et n entiers>=0 et m=<2^n} est dense dans [0,1]
l'hypothèse ==> f(m/2^n.x +(1-m/2^n).y)=<m/2^n.f(x) +(1-m/2^n).f(y)
par continuité, f(t.x+(1-t).y)=<t.f(x)+(1-t).f(y)

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Condition suffisante de convexité   Jeu 31 Juil 2014, 11:07

Généralisation:

Soit une une fonction continue, telle que pour tous réels,
il existe [0,1] :
montrer que est convexe

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nmo
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MessageSujet: Re: Condition suffisante de convexité   Ven 01 Aoû 2014, 13:02

Mohammed_Lahlou a écrit:
Soit une une fonction continue, telle que pour réels,
montrer que est convexe
Je propose une solution différente:
On définit l'intervalle ][ pour des raisons d'écriture en Latex.
On veut montrer que .
Soient et deux réels différents tels que: , et soit ][.
On va montrer que .
Quitte à remplacer la fonction par la fonction , on peut supposer que et on doit démontrer que .
Cela se démontre de proche en proche, en prenant passant toujours par la moitié d'un segment dont les extrémités ont des images négatives.
On a . On fait de même avec et et avec et .
Et on itère ce processus qui couvre tout l'intervalle pour conclure.
Sauf erreurs, qui ont de fortes chances d'exister.
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Condition suffisante de convexité   Sam 02 Aoû 2014, 12:39

abdelbaki.attioui a écrit:
Généralisation:

Soit une une fonction continue, telle que pour tous réels,
il existe [0,1] :
montrer que est convexe

Soient a et b des réels , a<b
On pose g(t)= f( a+t(b-a))-f(a)-t(f(b)-f(a)) pour t dans [0,1]
Il s'agit de montrer que g=<0 sur [0,1]
g continue sur [0,1] alors Max g sur [0,1] =g(u) avec u dans [0,1] .
Si 0<u<1. Par hypothèse et pour n assez grand
il existe u-1/n<t_n<u +1/n: g(t_n)=<0 ==> g(u)=<0
Si u=0 ou 1 , g(u)=0
D'où le résultat






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MessageSujet: Re: Condition suffisante de convexité   Sam 02 Aoû 2014, 22:33

abdelbaki.attioui a écrit:
Généralisation:
Soit une une fonction continue, telle que pour tous réels,
il existe [0,1] :
montrer que est convexe
La solution que vous avez apporté est très belle et astucieuse.
Et je pense que la généralisation doit être faite dans le sens suivant:
Il existe appartenant à ][ tel que: .
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Condition suffisante de convexité   Dim 03 Aoû 2014, 11:51

nmo a écrit:
abdelbaki.attioui a écrit:
Généralisation:
Soit une une fonction continue, telle que pour tous réels,
il existe [0,1] :
montrer que est convexe
La solution que vous avez apporté est très belle et astucieuse.
Et je pense que la généralisation doit être faite dans le sens suivant:
Il existe appartenant à ][ tel que: .

Merci nmo pour le compliment
La généralisation que j'ai proposé est plus forte vu que l'hypothèse: chaque couple a son  est plus faible qu'il y a un pour tous les couples. Mais enfin de compte les deux hypothèses sont équivalentes à la convexité donc eux mêmes sont équivalentes

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