Problème novembre 2014

Soit E=C([0,1],IR) et g dans E.
On pose pour f dans E,  N(f)=sup|fg| sur [0,1]

1) Montrer que N est une norme <==> g^{-1}(IR*) est dense dans [0,1]

2) Conditions pour que N soit équivalente à la norme de la convergence uniforme ?

1) montrons que si N est une norme donc g^{-1}(IR*) est dense dans [0,1] montrons la contrapose on a donc g^{-1}(IR*) n'est pas dense dans [0,1] dans il existe a dans [0,1] et e>0 tq pour tout y dans [a-e,a+e] y n'appartient pas a g^{-1}(IR*) donc pour tout y dans [a-e,a+e] g(y)=0 donc je choisi f(x)=-(|x-a|-e) pour tout x dans [a-e,a+e] et 0 ailleurs donc f*g=0 donc N(f)=0 donc N n'est pas une norme.
Reciproquement montrons que si g^{-1}(IR*) est dense dans [0,1] alors N est une norme on remarque que quelque soit g N verifie tout les axiomes d'une norme sauf celui de N(f)=0 donc f=0 c'est ce qu'on va essayer de montrer si g verifie g^{-1}(IR*) est dense dans [0,1] supposons par l'absurde que N n'est pas une norme donc il existe f non identiquement nul tq N(f)=0 f est non identiquement nul donc il existe x et e tq sur [x-e,x+e] f ne s'annule pas donc vu que N(f)=0 on f*g=0 donc pour tout y dans [x-e,x+e] y n'appartient pas a g^{-1}(IR*) d'ou la contradiction car cette derniere est dense
2) si g ne s'annulle pas donc 0<a<|g|<b donc N est equivalente a la norme infini si g s'annulle en un point x0 on considere fn(x)=-n(|x-x0|-1/n) pour x dans [x0-1/n,x0+1/n] et 0 ailleurs pour tout x fn(x)=<1 fn converge vers la fonction qui vaut 1 en x0 et 0 ailleurs donc N(fn) tend vers mais fn ne converge pas uniformement vers 0 donc les 2 norme ne peuvent etre equivalente