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ayoubmath
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ayoubmath

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MessageSujet: ouvert   ouvert EmptyVen 08 Aoû 2014, 03:47

salam

1-- soit E un espace vecto normé de dim finie
montrer que pour tout ouvert de E on peut y extraire une base

2-- soit E un espace vecto normé
montrer que tout partie non vide et différent de E ne peut pas être ferme et ouvert en m temps

 ?
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nmo
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MessageSujet: Re: ouvert   ouvert EmptySam 09 Aoû 2014, 10:39

ayoubmath a écrit:
salam
1--  soit E un espace vecto normé de dim finie
montrer que pour tout ouvert de E on peut y extraire une base
La question me semble mal posée.
Ce que j'ai compris est qu'il faut montrer qu'on peut extraire une base de tout ouvert ouvert Gif (non vide) inclus dans ouvert Gif de dimension finie ouvert Gif. Et voici ma proposition de résolution:
Soit ouvert Gif un ouvert non vide de ouvert Gif, et soit ouvert Gif.
Alors, il existe une boule ouvert Gifouvert Gif est son rayon.
Soit ouvert Gif la base canonique de ouvert Gif.
On pose: ouvert Gif.latex?x=\sum_{i=1}^{n}x_i.
Puisque toutes les normes sont équivaletes en dimension finie, on travaille avec la norme infinie ouvert Gif définie par: ouvert Gif.latex?(\forall y=\sum_{i=1}^{n}y_i.
On a ouvert Gif.
On pose: ouvert Gif.latex?(1\le\forall i\le n): y_i=x-\frac{r}{2p}.
On a ouvert Gif, donc ouvert Gif.
Montrons que ouvert Gif est une base de ouvert Gif.
Il suffit de montrer que cette famille est libre, car son cardinal est ouvert Gif.
Supposons que: ouvert Gif.latex?(\exists \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{R}):\sum_{i=1}^{n}\alpha_i.
On a: ouvert Gif.latex?\sum_{i=1}^{n}\alpha_i. D'où: ouvert Gif (cela découle de la projection sur ouvert Gif).
En sommant, on aura: ouvert Gif ou encore: ouvert Gif.
Donc ouvert Gif. Ce qui donne ouvert Gif.
Par suite ouvert Gif, ou bien ouvert Gif.
D'où la liberté de la famille ouvert Gif, et la fin de la démonstration.
Sauf erreurs.
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nmo
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MessageSujet: Re: ouvert   ouvert EmptySam 09 Aoû 2014, 10:49

ayoubmath a écrit:
salam
2-- soit E un espace vecto normé
montrer que tout partie non vide et différent de E ne peut pas être ferme et ouvert en m temps
Il suffit de remarquer que tout sous espace vectoriel est connexe par arc, et a fortiori connexe.
Donc, les seul ouverts et fermés à la fois sont l'ensemble tout entier et l'ensemble vide.
Ecartant l'ensemble vide, c'est le résultat demandé.


Dernière édition par nmo le Lun 11 Aoû 2014, 00:19, édité 1 fois
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ayoubmath
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MessageSujet: Re: ouvert   ouvert EmptyDim 10 Aoû 2014, 18:23

Merci nmo

j'ai pas bien comprendre votre solution pour 1 problème de notation

[0,1[ n'est pas ni fermé ni ouvert

voici ma solution pour la premier question
[=inclu


d'abord simple de montrer que : s'il existe a , r tel que B(a,r) [ F (F sev de E) alors F=E

soit O ouvert de E et x element non nul de O si tous les elements de O sont liee avec x donc O [ vect(x) donc vect(x)=E sinon il existe y de O tel que (x,y) libre si tous elements de O sont liee avec (x,y) ...

ainsi de suite jusqu’à construire une base de E d'elements de O
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MessageSujet: Re: ouvert   ouvert EmptyLun 11 Aoû 2014, 00:15

ayoubmath a écrit:
[0,1[ n'est pas ni fermé ni ouvert
Oui, tu as raison et j'avais tort. J'ai édité ma solution, qui était:
nmo a écrit:
ayoubmath a écrit:
salam
2-- soit E un espace vecto normé
montrer que tout partie non vide et différent de E ne peut pas être ferme et ouvert en m temps
Je pense que tu as oublié quelques hypothèses.
Par exemple, on a ouvert Gif.latex?(\mathbb{R},| est un sous espace vectoriel normé.
L'intervalle [ouvert Gif[ qui est une partie de ouvert Gif est ouvert et fermé.
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MessageSujet: Re: ouvert   ouvert EmptyLun 11 Aoû 2014, 00:29

ayoubmath a écrit:
d'abord simple de montrer que : s'il existe a , r tel que B(a,r) [ F (F sev de E) alors F=E
soit O ouvert de E et x element non nul de O si tous les elements de O sont liee avec x donc          O [ vect(x) donc vect(x)=E sinon  il existe y de O tel que (x,y) libre  si  tous elements de O sont liee avec (x,y) ...
ainsi de suite jusqu’à construire une base de E d'elements de O
Oui, c'est une bonne démarche.
Pour enrichir, je renvoie à une démonstration du lemme utilisé: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,344436.
Au plaisir!
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