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ayoubmath
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MessageSujet: ouvert   Ven 08 Aoû 2014, 03:47

salam

1-- soit E un espace vecto normé de dim finie
montrer que pour tout ouvert de E on peut y extraire une base

2-- soit E un espace vecto normé
montrer que tout partie non vide et différent de E ne peut pas être ferme et ouvert en m temps

 ?
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nmo
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MessageSujet: Re: ouvert   Sam 09 Aoû 2014, 10:39

ayoubmath a écrit:
salam
1--  soit E un espace vecto normé de dim finie
montrer que pour tout ouvert de E on peut y extraire une base
La question me semble mal posée.
Ce que j'ai compris est qu'il faut montrer qu'on peut extraire une base de tout ouvert (non vide) inclus dans de dimension finie . Et voici ma proposition de résolution:
Soit un ouvert non vide de , et soit .
Alors, il existe une boule est son rayon.
Soit la base canonique de .
On pose: .
Puisque toutes les normes sont équivaletes en dimension finie, on travaille avec la norme infinie définie par: .
On a .
On pose: .
On a , donc .
Montrons que est une base de .
Il suffit de montrer que cette famille est libre, car son cardinal est .
Supposons que: .
On a: . D'où: (cela découle de la projection sur ).
En sommant, on aura: ou encore: .
Donc . Ce qui donne .
Par suite , ou bien .
D'où la liberté de la famille , et la fin de la démonstration.
Sauf erreurs.
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nmo
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MessageSujet: Re: ouvert   Sam 09 Aoû 2014, 10:49

ayoubmath a écrit:
salam
2-- soit E un espace vecto normé
montrer que tout partie non vide et différent de E ne peut pas être ferme et ouvert en m temps
Il suffit de remarquer que tout sous espace vectoriel est connexe par arc, et a fortiori connexe.
Donc, les seul ouverts et fermés à la fois sont l'ensemble tout entier et l'ensemble vide.
Ecartant l'ensemble vide, c'est le résultat demandé.


Dernière édition par nmo le Lun 11 Aoû 2014, 00:19, édité 1 fois
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ayoubmath
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MessageSujet: Re: ouvert   Dim 10 Aoû 2014, 18:23

Merci nmo

j'ai pas bien comprendre votre solution pour 1 problème de notation

[0,1[ n'est pas ni fermé ni ouvert

voici ma solution pour la premier question
[=inclu


d'abord simple de montrer que : s'il existe a , r tel que B(a,r) [ F (F sev de E) alors F=E

soit O ouvert de E et x element non nul de O si tous les elements de O sont liee avec x donc O [ vect(x) donc vect(x)=E sinon il existe y de O tel que (x,y) libre si tous elements de O sont liee avec (x,y) ...

ainsi de suite jusqu’à construire une base de E d'elements de O
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nmo
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MessageSujet: Re: ouvert   Lun 11 Aoû 2014, 00:15

ayoubmath a écrit:
[0,1[ n'est pas ni fermé ni ouvert
Oui, tu as raison et j'avais tort. J'ai édité ma solution, qui était:
nmo a écrit:
ayoubmath a écrit:
salam
2-- soit E un espace vecto normé
montrer que tout partie non vide et différent de E ne peut pas être ferme et ouvert en m temps
Je pense que tu as oublié quelques hypothèses.
Par exemple, on a est un sous espace vectoriel normé.
L'intervalle [[ qui est une partie de est ouvert et fermé.
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nmo
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MessageSujet: Re: ouvert   Lun 11 Aoû 2014, 00:29

ayoubmath a écrit:
d'abord simple de montrer que : s'il existe a , r tel que B(a,r) [ F (F sev de E) alors F=E
soit O ouvert de E et x element non nul de O si tous les elements de O sont liee avec x donc          O [ vect(x) donc vect(x)=E sinon  il existe y de O tel que (x,y) libre  si  tous elements de O sont liee avec (x,y) ...
ainsi de suite jusqu’à construire une base de E d'elements de O
Oui, c'est une bonne démarche.
Pour enrichir, je renvoie à une démonstration du lemme utilisé: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,344436.
Au plaisir!
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