convexe d'intérieur vide

Soit E un e.v.n de dimension finie et C un convexe de E. Montrer que C est d’intérieur vide ssi il est contenu dans un hyperplan affine de E

2=>1 evidement car si C inclue dans un hyperplan H et F=vect(e) supplementaire de H avec e norme si on suppose par l'absurde que C n'est pas d'interieur vide donc il existe x dans C et r>0 tq B(x,r) est incluse dans C donc x+(r/2)e appartient a C donc a H impossible.
1=>2 on peut toujours se ramener a un convexe contenant 0 supposons que C n'est contenu dans aucun hyperplan affine donc il existe x1,x2,...xn dans C base de E de dim n donc x=sum(xi,i=1..n)/2*n^2 est dans C (car C convexe) donc vu qu'on est en dim finie les norme sont equivalentes donc on choisit la norme N= max(abs(ai)) (abs=valeur absolue) ai coordone de x dans la base des xi montrons que A={x/x=sum(ai*xi,i=1..n) 0=<ai=<1/n^2}est inclus dans C donc B(x,1/2*n^2) est dans C d'ou la contradiction.