fameux equation

Résoudre  dans N:

Pour un entier m :
Si m= 0 mod(3) , alors m^4 = 0 mod(3),
si m=1 mod(3), alors m^4 =1 mod(3),
et si m=2 mod(3) = -1 mod(3), alors m^4 = 1 mod(3).
Or pour un entier n, les nombres n, n+1, n+2 et n+3 sont successifs, donc les congruences respectives modulo 3 des nombres n^4, (n+1)^4, (n+2)^4 et (n+3)^4 sont, soit 0, 1, 1 et 0, 1, 0, 1 et 1, soit 1, 1, 0 et 1. Si en plus n est solution de l'équation, la somme des puissances 4 est une puissance 4, donc de congruence modulo 3 égale à 0, si n+4 = 0 mod(3), ou 1, si n+4 = 1 ou 2 mod(3). Donc, par correspondance n = 1; n+1 =0; n+2=1 et n+3 =1 mod(3) ou n=1; n+1 =1; n+2 =0 et n+3 =1 mod(3), et n+4 = 0 mod(3), soit n = 2 mod(3)

Considérons ce tableau exhaustif des cas de congruences d'un nombre entier et de sa puissance 4, modulo 4 et 5 respectivement.
x^4 mod(5) x mod(5) x^4 mod(4) x mod(4)
0 0 0 0
1 1 1 1
1 2 0 2
1 3 1 3
1 4
Aussi les congruences de nombres consécutifs sont-elles consécutives dans n'importe quelle fréquence, et donc leurs puissances sont de congruences successives cycliquement dans la colonne de congruences des puissances suivant cette fréquence. Par conséquent, si n est solution de l'équation, les nombres n^4 , (n+1)^4, (n+2)^4, (n+3)^4 et (n+4)^4 sont congrus, modulo 4, soit à 0, 1, 0, 1 et 0 soit à 1, 0, 1, 0 et 1, et modulo 5, soit à 0, 1, 1, 1 et 1, à 1, 1, 1, 1 et 0, à 1, 1, 1, 0 et 1, à 1, 1, 0 ,1 et 1, soit à 1, 0, 1, 1 et 1, respectivement. Mais il faut comparer les congruences des deux termes de l'équation. Or 2 n'est égal ni à 0 ni à 1 modulo 4, et 3 n'est pas égal à 1, ni 4 à 0 modulo 5. Par ces deux fréquences, il est possible de voir que l'équation n'a pas de solutions.

Bonjour;

Une méthode directe :

Soit f la fonction polynomiale d'expression algébrique :

f(x) = x^4 + (x + 1)^4 + (x + 2)^4 + (x + 3)^4 - (x + 4)^4 = 3x^4 + 8x^3 - 12x^2 - 112x - 158 .

L'étude de cette fonction donne qu'elle s'annule pour x proche de - 1,9686 et 3,3295 ;

donc l'équation n^4 + (n + 1)^4 + (n + 2)^4 + (n + 3)^4 = (n + 4)^4 n'a pas de

solution dans Z , donc dans IN .

Cordialement .

On devrait revoir la méthode de factorisation de polynômes de troisième degré pour étudier les variations de la fonction.