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 serie entier ?

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ayoubmath
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MessageSujet: serie entier ?   Sam 06 Sep 2014, 17:07

salam .....

*** soit une serie EanZ^n (E=Somme) de rayon de convergence R>0 montrer que les deux séries :

EanZ^(n^2) et E(anLn(n))Z^n de rayon de convergence R ?



merci d'avance
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nmo
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MessageSujet: Re: serie entier ?   Sam 13 Sep 2014, 10:22

ayoubmath a écrit:
salam .....

***  soit une serie EanZ^n (E=Somme) de rayon de convergence R>0 montrer que les deux séries :

EanZ^(n^2) et E(anLn(n))Z^n de rayon de convergence R ?

merci d'avance
La première est plus facile:
On a et ont le même rayon de convergence, et on a et .
Ce qui veut bien dire que les séries , et ont tous le même rayon de convergence.
La deuxième est un peux difficile, et je pense que les deux séries entières et n'ont pas le même rayon.
En effet, j'ai cherché sur Internet et j'ai trouvé que si est le rayon de convergence de la série entière alors .
Donc si est aussi le rayon de convergence de la série entière alors .
On a un contre exemple avec , car .
Sauf erreurs.
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ayoubmath
Maître
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MessageSujet: Re: serie entier ?   Dim 14 Sep 2014, 17:32

merci nmo

j'ai considere la serie n'est pas
tu utilise le théorème de Hadamard  mais  les deux serie n'ont pas le même an
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nmo
Expert sup


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MessageSujet: Re: serie entier ?   Ven 19 Sep 2014, 13:47

ayoubmath a écrit:
j'ai considere la serie n'est pas
tu utilise le théorème de Hadamard  mais  les deux serie n'ont pas le même an
Je n'ai pas compris. Peux-tu détailler?
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abdelbaki.attioui
Administrateur
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Date d'inscription : 27/11/2005

MessageSujet: Re: serie entier ?   Sam 20 Sep 2014, 14:20

Pour la deuxième
u_n= ln(n)^(1/n) ---> 1  car  ln(u_n)=ln(ln(n))/ln(n) . ln(n)/n --->0
==> |a_n|^(1/n)ln(n)^(1/n) ~ |a_n|^(1/n)
==> sum a_nZ^n et sum a_n ln(n)Z^n ont même rayon de cv

Pour la première j'en doute ( sauf erreur)   j'utilise 1/R= limsup |a_n|^(1/n) ( HADAMARD)
Exemple :
a_n= 0 si n est un carré  et a_n=1 sinon
limsup |a_n|^(1/n)
=inf{sup {|a_k|^(1/k): k>n}: n>0} =1 ==> R=1

On pose b_n=a_Vn  si  n est un bicarré ( n=p^4) et b_n=0 sinon
==>  sum b_nZ^n= sum a_nZ^n²=0 ==> R=+00

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