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 serie entier ?

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ayoubmath
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ayoubmath

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MessageSujet: serie entier ?   serie entier ? EmptySam 06 Sep 2014, 17:07

salam .....

*** soit une serie EanZ^n (E=Somme) de rayon de convergence R>0 montrer que les deux séries :

EanZ^(n^2) et E(anLn(n))Z^n de rayon de convergence R ?



merci d'avance
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nmo
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MessageSujet: Re: serie entier ?   serie entier ? EmptySam 13 Sep 2014, 10:22

ayoubmath a écrit:
salam .....

***  soit une serie EanZ^n (E=Somme) de rayon de convergence R>0 montrer que les deux séries :

EanZ^(n^2) et E(anLn(n))Z^n de rayon de convergence R ?

merci d'avance
La première est plus facile:
On a serie entier ? Gif.latex?\sum a_n et serie entier ? Gif.latex?\sum na_n ont le même rayon de convergence, et on a serie entier ? Gif.latex?a_n.\ln(n)=o_{+\infty}(a_n et serie entier ? Gif.latex?a_n=o_{+\infty}(a_n.
Ce qui veut bien dire que les séries serie entier ? Gif.latex?\sum a_n, serie entier ? Gif.latex?\sum na_n et serie entier ? Gif.latex?\sum \ln(n)a_n ont tous le même rayon de convergence.
La deuxième est un peux difficile, et je pense que les deux séries entières serie entier ? Gif.latex?\sum a_n et serie entier ? Gif.latex?\sum na_n n'ont pas le même rayon.
En effet, j'ai cherché sur Internet et j'ai trouvé que si serie entier ? Gif est le rayon de convergence de la série entière serie entier ? Gif.latex?\sum a_n alors serie entier ? Gif.
Donc si serie entier ? Gif est aussi le rayon de convergence de la série entière serie entier ? Gif.latex?\sum a_n alors serie entier ? Gif.
On a un contre exemple avec serie entier ? Gif, car serie entier ? Gif.
Sauf erreurs.
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ayoubmath
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MessageSujet: Re: serie entier ?   serie entier ? EmptyDim 14 Sep 2014, 17:32

merci nmo

j'ai considere la serie serie entier ? Gif.latex?\sum%20a_n n'est pas serie entier ? Gif.latex?\sum%20na_n
tu utilise le théorème de Hadamard  mais  les deux serie n'ont pas le même an
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nmo
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MessageSujet: Re: serie entier ?   serie entier ? EmptyVen 19 Sep 2014, 13:47

ayoubmath a écrit:
j'ai considere la serie serie entier ? Gif.latex?\sum%20a_n n'est pas serie entier ? Gif.latex?\sum%20na_n
tu utilise le théorème de Hadamard  mais  les deux serie n'ont pas le même an
Je n'ai pas compris. Peux-tu détailler?
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: serie entier ?   serie entier ? EmptySam 20 Sep 2014, 14:20

Pour la deuxième
u_n= ln(n)^(1/n) ---> 1  car  ln(u_n)=ln(ln(n))/ln(n) . ln(n)/n --->0
==> |a_n|^(1/n)ln(n)^(1/n) ~ |a_n|^(1/n)
==> sum a_nZ^n et sum a_n ln(n)Z^n ont même rayon de cv

Pour la première j'en doute ( sauf erreur)   j'utilise 1/R= limsup |a_n|^(1/n) ( HADAMARD)
Exemple :
a_n= 0 si n est un carré  et a_n=1 sinon
limsup |a_n|^(1/n)
=inf{sup {|a_k|^(1/k): k>n}: n>0} =1 ==> R=1

On pose b_n=a_Vn  si  n est un bicarré ( n=p^4) et b_n=0 sinon
==>  sum b_nZ^n= sum a_nZ^n²=0 ==> R=+00

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