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 non complétude de C([0,1],R)

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DocMatheux
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MessageSujet: non complétude de C([0,1],R)   Mer 12 Nov 2014, 15:42

Est-ce que la suite f_n(x)=sin(nx) est un bon exemple pour démontrer que C([0,1],R) est non complet pour la norme ||.||_1?
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: non complétude de C([0,1],R)   Sam 15 Nov 2014, 08:26

||f_n||_1= int_0^1 |sin nx | dx= (1-cos n )/n ---> 0
la suite converge alors ce n'est pas un bon exemple pour démontrer que C([0,1],R) est non complet pour la norme ||.||_1


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MohE
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MessageSujet: Re: non complétude de C([0,1],R)   Lun 17 Nov 2014, 03:14

Salam;
Essaie de construire ton exemple tout d'abord en visualisant les graphes des fonctions f_n.
Remarque que la norme ||.||_1 d'une fonction f représente l'aire en dessous de la fonction (au moins lorsque f>=0).
La suite cherchée doit être Cauchy, donc l'aire en dessous de |f_n-f_p| doit être très petit lorsque p et n sont très grand, au même temps, tu veux que la suite (f_n) n'ait pas de limite continue.
On peut construire un exemple avec des fonction affines par morceaux.
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: non complétude de C([0,1],R)   Lun 17 Nov 2014, 09:27

On a ||.||_1=<||.||_oo et (E,||.||_oo) est un espace de Banach
Si (E,||.||_1) est complet, d'après un théorème de Banach, les normes ||.||_1 et||.||_oo seront équivalentes. Il existe c>0 tel que ||f||_oo=< c||f||_1 qqs f dans E

Il suffit alors de prendre f_n(x)=x^n pour n entier>0
alors qqs n>0, 1=||f_n||_oo=< c||f_n||_1=c/(n+1) impossible

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MessageSujet: Re: non complétude de C([0,1],R)   Mar 25 Nov 2014, 21:54

Oui, ça me parait raisonnable. Merci.
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MessageSujet: Re: non complétude de C([0,1],R)   

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non complétude de C([0,1],R)
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