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 Une série

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2 participants
AuteurMessage
DocMatheux
Habitué



Masculin Nombre de messages : 22
Age : 25
Date d'inscription : 31/05/2009

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MessageSujet: Une série   Une série EmptyMar 25 Nov 2014, 21:55

Calcul de la somme de la série : \sum_{k>0}(-1)^{n-1}\ln(k)/k.
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abdelbaki.attioui
Administrateur
abdelbaki.attioui


Masculin Nombre de messages : 2564
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

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MessageSujet: Re: Une série   Une série EmptyVen 28 Nov 2014, 21:00

le théorème SSA ==> convergence


sum_{2n+1>=k>=2}(-1)^{k} ln(k)/k
=sum_{n>=k>=1}ln(2k)/2k- sum_{n>=k>=1} ln(2k+1)/(2k+1)
=sum_{n>=k>=1} ln(2k)/k- sum_{2n+1>=k>=2}ln(k)/k-
= ln 2 sum_{n>=k>=1}1/k + sum_{n>=k>=1} ln(k)/k - sum_{2n+1>=k>=1}ln(k)/k

Mais sum_{n>=k>=1}1/k = ln n + g +o(1) où g constante d'Euler
de même sum_{n>=k>=1} ln(k)/k = ln²n/2 +a+o(1) avec a réel ( par comparaison avec l'intégrale)

Alors ( après calcul ) la somme vaut (ln²2)/2 - g ln2
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