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  Probleme Août 2015

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abdelbaki.attioui
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Masculin Nombre de messages : 2547
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MessageSujet: Probleme Août 2015   Dim 02 Aoû 2015, 11:20

Résoudre dans le système :

PGCD(x,y)=1 et x^3(3x+1)=y²(y+1)^3

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MessageSujet: Re: Probleme Août 2015   Sam 22 Aoû 2015, 15:53

Bonjour ; en ce qui concerne le problème de Aout, je propose la solution suivante.
Je vais procéder par élimination de cas.
1) x = 0 et y = 0 ; (0 ;0) n’est pas solution car pgcd(0;0) = 0 .
2) x = 0 et y <> 0 ; on a y^2 (y+1)^3 = 0 , donc y = -1 et comme pgcd(0 ;-1) = 1 on a (0 ;-1) solution de l’équation .
3) x <> 0 et y = 0 ; on a x^3 (3 x + 1) = 0 , donc x = - 1/3 , donc aucune solution pour ce cas .
4) x <> 0 et y <> 0 ;
4.1) x = 1 ; on a y^2 (y+1)^3 = 4 ; pas de solution.
4.2) x = - 1 ; on a y^2 (y+1)^3 = 2 ; pas de solution.
4.3) x appartenant à Z/{-1 ; 0 ; 1} et y = 1 ; on a x^3 (3 x + 1) = 8 ; pas de solution.
4.4) x appartenant à Z/{-1 ; 0 ; 1} et y = - 1 ; on a x^3 (3 x + 1) = 0 ; pas de solution.
4.5) x appartenant à Z/{-1 ; 0 ; 1} et y appartenant à Z/{-1 ; 0 ; 1};
Comme pgcd(x ;y) = 1 donc x^3 divise (y + 1)^3 et y^2 divise 3 x + 1, donc il existe (w ;v) appartenant à (Z*)^2 tel que (y + 1)^3 = w x^3 et 3 x + 1 = v y^2 ou bien (y + 1)^3 = u^3 x^3 et 3 x + 1 = v y^2 en posant w = u^3 avec u appartenant à Z*, donc en réinjectant ces deux formes dans l’équation de départ on a : x^3 v y^2 = y^2 u^3 x^3 qui est équivalent à v = u^3.
Donc on a y + 1 = u x et 3 x + 1 = u^3 y^2,
donc |y| + 1 >= |u||x| et 3 |x| + 1 >= |u|^3 |y|^2,
donc |y| + 1 >= |x| et 3 |x| + 1 >= |y|^2, donc |y|^2 <= 3 |y|+ 4
donc |y|^2 - 3 |y|- 4 <= 0 donc (|y| - 4)(|y| + 1) <= 0 donc 2 <= |y| <= 4,
donc y appartient à {-4 ; -3 ; -2 ; 2 ; 3 ; 4}, on trouve que seul y = 4 convient et donne x = 5, donc (5 ; 4) est solution de l’équation.
En conclusion on a {(0 ; -1) , (5 ; 4)} est l’ensemble des solutions.
J’espère que c’est juste, sinon tout un chacun qui proposera une correction ou une solution alternative sera d’une très grande gentillesse.
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