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 limites et continuité

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AuteurMessage
HADDOUCH
Habitué


Masculin Nombre de messages : 27
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Date d'inscription : 01/07/2010

MessageSujet: limites et continuité   Lun 05 Oct 2015, 20:31

f est un fonction continue et positive sur R+ tel que lim f(x)/x < 1 (x-->+infini)
démontrer que l'equation f(x) = x admet au moins une solution dans R+
il s'agit de l'exo 92 p 44 manuel de maths terminal sm
merci d'avance
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aymanemaysae
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Masculin Nombre de messages : 353
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Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: limites et continuité   Mar 06 Oct 2015, 15:34

Bonjour,
je m'excuse pour le retard, mais j'étais à défaut de connexion.
Dans ma réponse, j'ai utilisé le Théorème des valeurs intermédiaires: j'espère que j'ai vu juste.

S'il y a des remarques,elles seront les bien venues.
Bon courage.
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HADDOUCH
Habitué


Masculin Nombre de messages : 27
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MessageSujet: Re: limites et continuité   Mer 07 Oct 2015, 20:05

aucune remarque je te remercie chèrement!!
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haiki55
Maître


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MessageSujet: Re: limites et continuité   Mer 07 Oct 2015, 22:16

Bonsoir,
J'ai deux petites remarques:
*Si u=0 alors 1 n'appartient pas à l'intervalle ]u,u+1[.
*Si u=0 ,on ne peut pas appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g sur [u,u+1]   (pourquoi?).
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aymanemaysae
Expert grade2


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MessageSujet: Re: limites et continuité   Jeu 08 Oct 2015, 14:56

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haiki55
Maître


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MessageSujet: Re: limites et continuité   Jeu 08 Oct 2015, 21:23

Bonsoir,
J'ai encore une autre petite remarque:En Terminale,on n'applique le théorème des valeurs intermédiaires que sur un intervalle de la forme [a,b].
Dans votre intervention d'aujourd'hui , il est souhaitable de préciser l'intervalle [a,b] sur lequel vous appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g (cas 0<f(0)  ).


Amicalement.
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selfrespect
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Localisation : trou noir
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MessageSujet: Re: limites et continuité   Ven 09 Oct 2015, 20:38

Bonsoir,

Pour ce genre d’exercices c'est mieux de faire un dessin. Tu traces une courbe positive et asymptotiquement au dessous de la droite (D) y=x ( lim f(x)/x <1 veut dire que asymptotiquement f est au dessous de D). Le but de l'exercice est de démontrer que la courbe Cf de f franchit la droite (D).

Essaie de de dessiner Cf vérifiant les hypothèses sans qu'elle franchisse D! tu pourra pas car l'image de 0 doit être à la fois >=0 et au "dessous" de (D). Donc visuellement D coupe Cf d'ou l'idée qui suit.

si f(0) =0. c'est terminé sinon f(0) >0.

Sinon on considère E={x de R+ /f(x) =< x}
E est non vide ( du fait que lim f(x)/x <1 donc on trouvera des A tq f(A)<A ... ) .
E est partie non vide de R+* donc elle admet une borne inférieure c. ( vous l'avez remarqué, c est le premier point en commun entre D et Cf).
si f(c) < c, le fait que f est continue ==> qu'il existe un epsilon tel que cette inégalité est toujours vraie c' est à dire f(c-epsilon)<c-epsilon donc c-epsilon appartient à E et contredit la minimalité de c => absurde !
donc f(c)=c. cqfd
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abdelbaki.attioui
Administrateur
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Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

MessageSujet: Re: limites et continuité   Sam 10 Oct 2015, 11:07


On peut supposer f(0)>0 sinon c'est terminé.
On pose a= lim f(x)/x (x-->+infini) , a<1.
Soit g:[0,pi/2] ---> R définie par :

g(x)= Arctan( f(tan(x))/tan(x) ) si x dans ]0,pi/2[
g(0)=pi/2>pi/4
g(pi/2)= Arctan(a)<pi/4

alors g est continue . TVI ==> il existe c dans ]0,pi/2[ : g(c)=pi/4 ==> f(tan(c))=tan(c)

_________________
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: limites et continuité   Sam 10 Oct 2015, 13:13


Je viens de voir les solutions de Messieurs Selfrespect et Abdelbaki.Attioui: je suis vraiment très émerveillé, car j' y ai trouvé une panoplie de méthodes de très haut niveau.
je remercie donc M. Haddouch qui a initié cette discussion, M. Haikki qui était très patient et m'a guidé dans mes démarches, et enfin Messieurs Selfrespect et Abdelbaki.Attioui qui nous ont fait profiter de leur savoir.
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haiki55
Maître


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Date d'inscription : 22/09/2010

MessageSujet: Re: limites et continuité   Sam 10 Oct 2015, 15:46

Bonjour,

Je félécite aymanemaysae pour les efforts fournis et pour la patience dont il(elle) a fait preuve dans la recherche d'une solution au problème posé par HADDOUCH et je le(la) remercie en l'occurence.
Je remercie également abdelbaki.attioui et selfrespect pour les solutions proposées.

Ci-dessus une autre solution :
On a:f(x)/x tend vers un réel u qui appartient à [0,1[ lorsque x tend vers +l'infini . Donc pour le réel strictement positif (1-u)/2 ;  il existe 0<A tel que pour tout A<x ,f(x)/x <(1-u)/2+u =(u+1)/2 <1.Ainsi   f(A+1)< A+1 . Donc f(A+1) est inférieur ou égal à (A+1).
Soit g la fonction définie sur R+ par g(x)=f(x)-x .
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à la fonction g sur l'intervalle[0,A+1] ,il existe c dans [0,A+1] tel que g(c)=0. Il existe don c dans R+ tel que f(c)=c.   CQFD
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