On cherche qu'il y a une infinité de solutions dans Q telles que x <> y.
Puisque le problème est symétrique, on peut restreindre l'étude au cas: y>x>0 .
Posons u = x/(y-x) > 0 ---> y/x = 1+1/u;
on a aussi x^y=y^x <---> x^(y-x) = (y/x)^x <---> x = (y/x)^(y/(y-x)) = (1+1/u)^u ,
et y = x * y/x = (1+1/u)(1+1/u)^u = (1+1/u)^(u+1),
donc pour tout u appartenant à IR*+ on a : x = (1+1/u)^u et y = (1+1/u)^(u+1) .
Pour que les solutions appartiennent à Q*+ il suffit de prendre u dans IN*,
donc {((1+1/u)^u,(1+1/u)^(u+1)) avec u élément de IN*} est inclus dans l'ensemble des solutions rationnelles du problème, et comme {((1+1/u)^u,(1+1/u)^(u+1)) avec u élément de IN*} est de cardinal infini, donc l'ensemble des solutions rationnelles du problème est de cardinal infini, donc le problème a une infinité de solutions rationnelles.
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