Juin 2016

On a 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 6 = 1 + 2 + 3, 7 = 3 + 4, mais ni 4 ni 8
ne peuvent s'écrire comme somme d'au moins deux entiers consécutifs. Votre mission est de démontrer que ce motif se poursuit à l'infini:

1) Démontrez qu'aucune puissance de 2 ne peut s'écrire comme somme
d'au moins deux entiers consécutifs.
2) Démontrez que tout entier qui n'est pas une puissance de 2 peut
s'écrire comme somme d'au moins deux entiers consécutif

1)- On suppose le contraire, alors 2^n=p+(p+1)+...+(p+q) admet une solution (p,q) dans N².
donc 2^{n+1}=(2p+q)(q+1)=produit de nombres de parité différentes, ce qui est absurde.

2)- exhiber une solution à l'équation 2^{n+1}k=(2p+q)(q+1) d'inconnues p et q avec k impair. Par exemple p= 2^n-(k-1)/2 et q=k-1.

Pour la question n° 1 , je pense que 1 qui est une puissance de 2 peut s'écrire sous la forme
d'une somme de deux nombres entiers naturels consécutifs: 1 = 2^0 = 0 + 1.

Pour n >= 2 la démonstration de M. Kalm m'a émerveillée par sa simplicité et son ingéniosité.

Pour la question n° 2 , et en m'inspirant d'un exercice que j'ai vu il y a quelques semaines,
je propose la solution suivante:

Pour 0 , ce n'est pas une puissance de 2 mais ne peut s'écrire sous la forme d'une somme
de deux nombres entiers naturels consécutifs.

Pour N un entier naturel supérieur ou égal à 2 avec N n'est pas une puissance de 2.

Dans ce cas, la décomposition en facteurs premiers de N contient un nombre premier impair.

Soit P ce nombre premier impair, donc N peut être représenté sous forme d'un
produit: P R avec R un entier naturel non nul.

Posons P = 2 r + 1 avec r un entier naturel non nul sinon P serait égal à 1.

Posons aussi Q = R - r si R >= r et Q = r - R - 1 si R < r.

Considérons maintenant les deux cas possibles de ce produit:

a) N = P R = (2 r + 1)(r + Q) si R >= r .
b) N = P R = (2 r + 1)(r - Q - 1) si R < r .

Étude du cas a) .
Soit Q + ................. + (Q + 2 r) la somme des (2 r + 1) entiers naturels
consécutifs (r >= 1 ==> 2 r + 1 >= 3),
donc Q + ............ + (Q + 2 r) = (2 r + 1) Q + 0 + ........... + 2 r
= (2 r + 1)Q + r(2 r + 1) = (2 r + 1)(r + Q) = N .

Étude du cas b)
Soit (Q + 2) + .............. + (Q + 2(r - Q) - 1) la somme
des 2(r - Q - 1 entiers naturels consécutifs (r - Q - 1 = R >= 1 ==> 2(r - Q - 1) >= 2),
donc (Q + 2) + ................. + (Q + 2(r - Q) - 1)
= 2(r - Q - 1)Q + 2 + ................ + (2(r - Q) - 1)
= 2(r - Q - 1)Q + (r - Q)(2(r - Q) - 1) - 1
= 2(r - Q - 1)Q + (r - Q - 1)(2 r - 2 Q - 1) + 2 r - 2 Q - 2
= (r - Q - 1)(2 Q + 2 r - 2 Q - 1 + 2)
= (r - Q - 1)(2 r + 1) = N .

Donc , dans les deux cas, N est la somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs.