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 fof=x+2

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elhor_abdelali
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MessageSujet: fof=x+2   Sam 13 Fév 2016, 22:00

Bonjour,

on cherche toutes les applications f : IR ---> IR  continument dérivables et telles que fof (x)=x+2 pour tout réel x.
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: fof=x+2   Dim 14 Fév 2016, 15:14

On a fof(x) = x + 2 ==> fofof(x) = f(x + 2) ==> fof(f(x)) = f(x) + 2 ==> f(x + 2) = f(x) + 2 .

Un exemple d'une telle fonction est la fonction f de IR dans IR telle que f(x) = x + 1.

En cherchant, j'ai trouvé que les fonctions définies de la manière suivante sont toutes solutions de l'équation
f(x + 2) = f(x) + 2 :

On définit sur [0,2] une fonction continue telle que f(0) = f(2), et pour tout x appartenant à [0,2]
et pour tout p appartenant à IN* on pose f(x+2P) = f(x) + 2p .

Mais quant à montrer que ce sont les seules solutions de l'équation donnée, je suis au pied du mur.
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MohE
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MessageSujet: Re: fof=x+2   Dim 14 Fév 2016, 23:50

Un essaie:
1- Prendre l'image par f de l'equation fonctionnelle, on trouve que h(x):= f(x)-x est 2-periodique
2- la fonction f est supposee C1, et f'(x) n'est jamais nulle, f est donc monotone. A cause de 1, f ne peut etre decroissante, donc f est croissante.
3- h est continue est 2-periodique, alors h(IR) est un interval. De plus, si a = h(x_0), alors h(x_0+a)=2-a, il s'ensuit que cet interval est de la form [1-epsilon,1+epsilon]
4- Le 3 implique que pour tout x, 1-epsilon <= h(f(x)) = x+2-f(x) <= 1+epsilon, donc: x+1-epsilon<= f(x) <= x+1+epsilon, ainsi:
x+2 = f(f(x)) <= f(x+1+epsilon) <= x+1+epsilon + 1-epsilon =x+2. D'ou on a un cas d'egalite, c.a.d f(x)=x+1-epsilon = x+1+epsilon, f = id + 1.

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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: fof=x+2   Lun 15 Fév 2016, 18:29

Bonjour et merci pour l'intérêt que vous montrez à cet exercice Very Happy

aymanemaysae,

Like a Star @ heaven  attention l'énoncé " pour tout réel x, f(x+2)=f(x)+2 " n'est pas équivalent à l'énoncé" pour tout réel x, fof(x)=x+2 "
par exemple toutes les translations vérifient le premier alors que seule x-->x+1 vérifie le second.

Citation :
On définit sur [0,2] une fonction continue telle que f(0) = f(2)

je suppose que tu as voulu écrire f(0)+2=f(2)
et même si c'est ça comme je l'ai expliqué ta construction de f ne garantie pas l'équation fonctionnelle de départ.

Like a Star @ heaven tu n'as pas pris en considération l'hypothèse f C1. 


MohE,

Like a Star @ heaven OK pour la croissance de f et la 2-périodicité de h.

Like a Star @ heaven  par contre dans le 4- je ne comprends pas ta déduction:

Citation :
ainsi:
x+2 = f(f(x)) <= f(x+1+epsilon) <= x+1+epsilon + 1-epsilon =x+2.

et je dirai plutôt : x+2 = f(f(x)) <= f(x+1+epsilon) <= x+1+epsilon + 1+epsilon =x+2+2epsilon. farao sauf erreur de ma part bien entendu


Dernière édition par elhor_abdelali le Mar 16 Fév 2016, 09:56, édité 1 fois
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MohE
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MessageSujet: Re: fof=x+2   Mar 16 Fév 2016, 06:54

@elhor_abdelali, vous avez raison. Sinon je ne vois pas comment remédier ce problème.
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: fof=x+2   Mar 16 Fév 2016, 11:40

Sur Internet j'ai trouvé une généralisation de cet exercice, mais j'avoue que certains passages de la solution proposée me dépassent:

Soit f une application de IR ---> IR  continument dérivable et telle que fof (x)= ax+b pour tout réel x avec a et b des réels.

- Si a=0, c'est pas passionnant comme Ben l'a dit. f doit être constante sur son image, on peut pas dire grand chose de plus. Enfin on peut p-e expliciter un peu plus, mais je préfère oublier ce cas.

- Si a<0, alors il n'y a pas de solutions, même avec f continue, car f étant continue et injective elle doit être strictement monotone, et donc f o f ne peut être décroissante

- Si a>0, a différent de 1, alors si je note l le point fixe de ax+b ( donc l=b/(1-a) ) et g(x )= f(x+l)-l, on a (g o g)(x)=ax, donc en particulier, g(ax)=ag(x). Si a<1, g(x)=g(a^k*x)/a^k tend vers g'(0)x, donc g est linéaire ( =plus ou moins racine(a)*x ) et donc f est affine. Si a>1, alors on dit que g(x/a)=g(x)/a et on fait le même raisonnement.
Ainsi il y a donc dans ce cas exactement 2 solutions affines, et en fait f dérivable suffit pour conclure ( en revanche f seulement continue ne suffit pas, même si j'ai la flemme d'écrire le contrexemple maintenant )

- Si a=1, et b différent de 0 : alors f étant strictement monotone sans point fixe, elle est strictement croissante, et étant ni majorée ni minorée c'est même une bijection croissante de R dans R. La fonction g=(Id+f)/2 est alors aussi une bijection croissante de R dans R, et on voit que g o f=g+b/2.

Donc f est continument conjuguée à l'application x->x+b/2 ( C^1 conjuguée si f est C^1 ) avec une conjugaison g vérifiant g(x+b)=(g o f o f)(x)=g(x)+b et qui donc commute avec Id+b, ou autrement dit qui est de la forme "Identité+fonction b-periodique". Réciproquement, si f est conjuguée à Id+b/2 par une fonction de la forme Identité+fonction b-periodique, on vérifie trivialement que f vérifie l'énoncé.

Enfin, si a=1 et b=0, alors :
Dans le cas f croissante, a x fixé, on ne peut avoir f(x)>x car ceci impliquerait x=f o f(x)>f(x)>x, et on ne peut avoir f(x)Dans le cas f décroissante, f a un unique point fixe l. Supposons pour simplifier que l=0. f envoie donc R+ sur R- et R- sur R+. On pose g=f sur R-, g=-Id sur R+, et on vérifie alors que pour tout x, (g o f)(x)=-g(x) ( en séparant les cas x<0 et x>0 ), et g est clairement continue bijective, donc f est continument conjuguée à -Id, et même C^1 conjuguée si f est C^1 ( bon ya a priori un problème de dérivabilité de g en 0, il est nécessaire pour cela que f '(0)=-1, mais on voit que c'est forcément le cas en dérivant la relation f o f=Id en 0 ). Si le point fixe l de f n'est pas 0, on se ramène au cas précédent en remplaçant f(x) par f(x+l)-l. Donc dans tous les cas, f est conjuguée à -Id. La réciproque est évidente.

Donc pour résumer, f o f=Id si et seulement si f=Id ou f est conjuguée à -Id .
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: fof=x+2   Mar 16 Fév 2016, 17:31

aymanemaysae peux tu donner le lien où tu as trouvé cette généralisation ?
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: fof=x+2   Mar 16 Fév 2016, 18:55

Le lien est : http://www.maths-forum.com/enigmes/equation-fonctionnelle-t106828.html .
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MohE
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MessageSujet: Re: fof=x+2   Mar 16 Fév 2016, 20:22

effectivement, je pensais que la seule solution doit etre f=id+1, or ceci n'est pas le cas. f peut (et doit) etre une fonction de la forme h^{-1}(h(x)+1) ou h est une fonction C1 verifiant h(x+2)=h(x)+2 (il y en a plein).
D'un cote, si f(x)=h^{-1}(h(x)+1), on verifie, que f(f(x))=h^{-1}(h(x)+2)=x+2.
D'un autre cote, si f verifie fof=x+2, on peut prendre h(x)=1/2(f(x)+x) et on verifie bien que h(x+2)=h(x)+2, que h est C1, croissante (donc bijective) et que h(f(x))=h(x)+1 i.e f(x)=h^{-1}(h(x)+1).
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elhor_abdelali
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MessageSujet: Re: fof=x+2   Mer 17 Fév 2016, 20:45

Problème résolu farao  

Bravo aymanemaysae et MohE  cheers
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MessageSujet: Re: fof=x+2   

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