Je crois que c'est le même exercice que celui du "Défi" . Je reproduis ici la solution que j'ai proposée, sauf si elle est erronée.
Soit f une fonction de IR dans C telle que f(x) = cos(2x) - i 2sin(2x),
cette fonction est de période pi, donc on peut faire l'étude sur ]-pi/2,pi/2[ .
En posant rho^2 = 1 + 3 sin(2x)^2 on a f(x) = rho (cos(2x)/rho - i 2sin(2x)/rho),
soit phi telle que cos(phi) = cos(2x)/rho et sin(phi) = 2sin(2x)/rho ,
donc pour x<> -pi/4 ou pi/4 on a tan(phi) = 2 sin(2x)/cos(2x) = 2 tan(2x)
==> phi = arctan(2 tan(2x)),donc f(x) = rac(1 + 3 sin(2x)^2) (cos(phi) - i sin(phi)),
pour x = -pi/4 on a f(x) = 2i = 2 (cos(-pi/2) + i sin(pi/2)),
et pour x = pi/4 on a f(x) = - 2i = 2 (cos(pi/2) - i sin(pi/2)) .
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