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 Deux limites

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mat9ich
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MessageSujet: Deux limites    Mar 08 Mar 2016, 20:47

Calculer
Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)^2 en zero
Lim (1/x^2)-1/sin^2(x) en zero
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mat9ich
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MessageSujet: Re: Deux limites    Mer 09 Mar 2016, 14:33

avec une methode autre que l hopital
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mat9ich
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MessageSujet: Re: Deux limites    Mer 09 Mar 2016, 14:35

voila une autre Calculer
Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)^2 en zero
Lim (1/x^2)-1/sin^2(x) en zero
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: Deux limites    Mer 09 Mar 2016, 14:57

Le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 2 de e^x - 1 est 1 + x + (x^2 )/2 - 1 + O(x^2) = x + (x^2 )/2 + O(x^2) ,
et le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 2 de x e^x est x (1 + x + O(x)) = x + x^2 + O(x^2) ,
donc le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 2 de e^x - 1 - x e^x est - (x^2)/2 + O(x^2) .

On a aussi le développement limité de (e^x - 1)^2 = x^2 + O(x^2) , donc le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 2 de (e^x - 1 - x e^x)/(e^x - 1)^2 est -1/2 + O(x^2) .

Conclusion : quand x tend vers 0 , lim (e^x - 1 - x e^x)/(e^x - 1)^2 = lim -1/2 + O(x^2) = -1/2 .

Pour lim 1/x^2 - 1/(sin(x))^2 , on calcule d'abord le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 1 de (1/sin(x))^2 .
Le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre 1 de (1/sin(x))^2 est 1/x^2 + 1/3 + O(1), donc quand x tend vers 0, on a :
lim 1/x^2 - 1/(sin(x))^2 = lim 1/x^2 - 1/x^2 - 1/3 + O(1) = -1/3 .
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mat9ich
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MessageSujet: Re: Deux limites    Mer 09 Mar 2016, 15:46

merci pour la methode.
existe il une methode pour terminal
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Deux limites    Dim 13 Mar 2016, 12:51

mat9ich a écrit:
voila une autre  Calculer
Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)^2 en zero

Niveau BAC  ( IPP: désigne intégration par partie)
Pour x non nul,
e^x-1 =int_0^x e^t dt
= [te^t]_0^x- int_0^x te^t dt,  par IPP
=xe^x- int_0^x te^t dt

(e^x-xe^x-1)/(e^x-1)²
=- int_0^x te^t dt/(e^x-1)²
=- int_0^x te^t dt/x².x²/(e^x-1)²

Il est bien connu que, Lim(x-->0) (e^x-1)/x=1 ( dérivée de exp en 0)
Alors, Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)² =- int_0^x te^t dt/x²
Encore par IPP
int_0^x te^t dt=[t²e^t/2]_0^x-  int_0^x t²e^t dt/2
=x²e^x/2-  int_0^x t²e^t dt/2

Mais,  pour -1<x<1, |int_0^x t²e^t dt|=< e int_0^x t² dt  car  e^t<e
==>  |int_0^x t²e^t dt|=< e |x|^3/3 ==> int_0^x t²e^t dt/x² -->0

Donc Lim (e^x-xe^x-1)/(e^x-1)² =-1/2

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Deux limites    Dim 13 Mar 2016, 13:33

on pose u=e^x-1, x qcq <==> x=ln(1+u) , u>-1
(e^x-xe^x-1)/(e^x-1)²
=  (u-(u+1)ln(1+u) ) /u²
=  (u-ln(1+u) ) /u² - ln(1+u) /u

Pour t>-1  ,  1+t²=(1+t)(1-t)
==> 1/(1+t)=1-t-t²/(1+t)
==> ln(1+u)=u-u²/2 - int_0^u t²/(1+t) dt   par intégration

(u-ln(1+u) ) /u²= 1/2 + int_0^u t²/(1+t) dt/u²

|int_0^u t²/(1+t) dt|=<int_0^u t²/(1+t) dt=< |u|^3 /3(1-|u|)

==> lim  (u-ln(1+u) ) /u² - ln(1+u) /u=-1/2

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mat9ich
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MessageSujet: Re: Deux limites    Dim 13 Mar 2016, 18:40

Merci mr attioui pour la reppnse bonne methode mais avec l integrale c dure ppur un eleve qui na pas encor vu ce cours .en ce moment les eleves de terminal sont en cours de exponentielle. Merci encors une fois
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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Re: Deux limites    Lun 14 Mar 2016, 15:16

Les DL vu autrement

Comme Lim(x-->0) (e^x-1)/x=1, il suffit de calculer Lim(x-->0) (e^x-1-x)/x²

On pose f(x)=e^x-1-x-x²/2 pour x dans R
pour tous x non nul,  d'après TAF ( je pense que c'est au programme de Bac)
il existe c strictement entre 0 et x tel que  f(x)-f(0)=xf'(c) <==> e^x-1-x-x²/2=x (e^c-1-c)

TAF  ==> il existe d entre 0 et c :   e^c-1-c=c(e^d-1)
==> e^x-1-x-x²/2=xc (e^d-1)
==> | e^x-1-x-x²/2|<x² (e^|x|-1)   car |c|<|x|  et |d|<|x|
==> Lim(x-->0) (e^x-1-x)/x²=1/2

De même pour l'autre limite
TAF==>  sin(x)-x+x^3/6=x(cos(c)-1+c²/2)  avec  c strictement entre 0 et x
TAF==>  cos(c)-1+c²/2=c (-sin(d)+d) avec  d strictement entre 0 et c
TAF==>  -sin(d)+d=d (-cos(e)+1)    avec  e strictement entre 0 et d
==>  sin(x)-x+x^3/6=xcd (-cos(e)+1)
==> |sin(x)-x+x^3/6|<[x|^3(1-cos(x))
==>  lim(x-->0)  (sin(x)-x)/x^3=-1/6 ===> g(x)=(sin(x)-x)/x^3+1/6 tend vers 0 qd x-->0
==>  sin(x)=x-x^3/6 +x^3 g(x)
==>  sin²(x)=x²-x^4/3 +x^4h(x)  avec h(x)-->0 qd x--->0

1/x²-1/sin²(x)= (sin²(x)-x²)/x²sin²(x)
= (-x^4/3 +x^4h(x))/(x²(x²-x^4/3 +x^4h(x)))
= (-1/3 +h(x))/(1-x²/3 +x²h(x))) ---> -1/3

Remarque: On a montrer que pour tout x dans R les inégalités:

| e^x-1-x-x²/2|=<x² (e^|x|-1)    et   |sin(x)-x+x^3/6|=<|x|^3(1-cos(x))

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Dernière édition par abdelbaki.attioui le Mar 15 Mar 2016, 10:35, édité 2 fois
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MessageSujet: Re: Deux limites    Lun 14 Mar 2016, 18:16

La méthode pour résoudre la deuxième limite avec le T.A.F est vraiment très ingénieuse: merci M. Abdelbaki, ça faisait plus d'une semaine que je cherchais à résoudre cet exercice avec les outils du terminal.
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mat9ich
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MessageSujet: Re: Deux limites    Mer 16 Mar 2016, 23:24

merci bonne methode
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