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 EQ

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Litorus
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MessageSujet: EQ   Lun 02 Mai 2016, 22:34

Trouver toutes les fonctions croissantes de IN-->IN
Qui vérifient : f(n+f(n))=2f(n)
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naïl
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MessageSujet: EQ   Dim 20 Mai 2018, 14:13

:n و m المعادلة
تستلزم لكل ‏صحيحين طبيعيين
f[n+ (2^m- 1)f(n)] = 2^m f(n) par récurrence sur n
n |---> pE[(n+ a)/ p]+ a où p et a sont des constantes entières naturelles sont des solutions
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nmo
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MessageSujet: Re: EQ   Lun 21 Mai 2018, 17:14

naïl a écrit:
:n و m المعادلة
تستلزم لكل ‏صحيحين طبيعيين
f[n+ (2^m- 1)f(n)] = 2^m f(n) par récurrence sur n
n |---> pE[(n+ a)/ p]+ a où p et a sont des constantes entières naturelles sont des solutions
La relation de récurrence est juste. Est-ce que tu peux détailler comment tu obtiens la fonction solution?
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naïl
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MessageSujet: Re: EQ   Lun 21 Mai 2018, 19:13

g(x)=f(x)-x?
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naïl
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MessageSujet: Re: EQ   Lun 12 Nov 2018, 12:30

f croissante, donc g aussi- à condition que f le soit strictement. Pour le plus petit entier p où g est non nulle, par récurrence, la suite {k entier naturel, 2^k .p +(2^k -1) *g(p)} est d'image par g egale à {g(p)}. Donc g est constante au delà de p. Si p n'existe pas alors g =0.
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naïl
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MessageSujet: Re: EQ   Mar 13 Nov 2018, 11:45

en fait quelque soit n et k entiers naturels g(2^k *n +(2^k -1) *g(n)) = g(n). Aussi, sans chercher p, pour tout k: g(2^k +(2^k -1) *g(1)) = g(1), tel que la série en fonction de k en g tend vers l'infini lorsque k y tend. Donc g est constante au-delà de 1 car elle est non strictement croissante. En plus, si g(0) > 0 alors g(0) = g(1) parce que g(g(0)) = g(0) outre le fait précédent. Mais si g(0) = 0, est-ce-que f :|N->|N : 0|-->0, x|-->x +f(1) -1 pour x>=1 est solution?
En tout cas, x|-->x +f(0) l'est.
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naïl
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MessageSujet: Re: EQ   Mar 13 Nov 2018, 16:29

f devrait avoir les mêmes conditions que sur http://mathsmaroc.jeun.fr/t20558-quation-fonctionnelle-assez-intressante#172261, sauf qu'elle est discrete. Ce qui inclurait une solution en plus.
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nmo
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MessageSujet: Re: EQ   Mer 21 Nov 2018, 21:05

Litorus a écrit:
Trouver toutes les fonctions croissantes de IN-->IN
Qui vérifient : f(n+f(n))=2f(n)
Cet exercice n'est pas du tout évident. Est-ce que tu peux partager une solution ?
Sache que le problème devient trivial si on impose que est strictement croissante.
Au passage, au lieu de considérer comme l'a fait nail, j'ai pensé à considérer .
La fonction vérifie l'équation fonctionnelle . On peut voir que est strictement croissante et est bijective, mais cela ne nous aide pas trop. De plus, la théorie de résolution d'équations de récurrence ne nous aide pas non plus (En vrai, on aboutit au premier résultat avancé par nail).
naïl a écrit:
:n و m المعادلة
تستلزم لكل ‏صحيحين طبيعيين
f[n+ (2^m- 1)f(n)] = 2^m f(n) par récurrence sur n
n |---> pE[(n+ a)/ p]+ a où p et a sont des constantes entières naturelles sont des solutions
La forme des solutions que tu trouves est plutôt la suivante: pour des entiers naturels et fixés.
Les fonctions constantes sont aussi solution au problème (les fonctions constantes sont croissantes au sens large).
naïl a écrit:
f devrait avoir les mêmes conditions que sur http://mathsmaroc.jeun.fr/t20558-quation-fonctionnelle-assez-intressante#172261, sauf qu'elle est discrete. Ce qui inclurait une solution en plus.
Je ne pense pas que ce sont les seules solutions. En cherchant sur Internet, j'ai trouvé un exercice qui ressemble à l'exercice proposé dont on peut s'inspirer: https://artofproblemsolving.com/community/c6h1604376p10001604.
Au plaisir !
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