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 Intéressant!!!

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konan
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Masculin Nombre de messages : 81
Age : 26
Date d'inscription : 13/11/2009

MessageSujet: Intéressant!!!   Jeu 26 Mai 2016, 18:11

Soit G un groupe multiplicatif. Montrer que:
1°)G est abélien si et seulement si l'application f:----->x^-1 est un homomorphisme de groupes.
2°)G est abélien si et seulement si l'application f:----->x^2 est un homomorphisme de groupes.
3°)Ces homomorphismes sont-ils alors surjectifs? justifier
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aymanemaysae
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 352
Age : 20
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: Intéressant!!!   Ven 27 Mai 2016, 10:20

Bonjour tout le monde ;
après l’interminable semaine du CNC, cet exercice est le bienvenu pour dissiper l’épais brouillard de tant de mois de stress.
Pour la première question, voici ce que je propose :
a) Supposons que f est un homomorphisme de groupe (endomorphisme de G), donc
qqsoit (x,y) in G^2 : xy = f(x^-1) f(y^-1) = f(x^-1y^-1) = f((yx)^-1) = yx , donc
G est abélien .
b) Supposons maintenant que G est abélien,
donc qqsoit (x,y) in G^2 : f(xy) = (xy)^-1 = y^-1 x^-1 = x^-1 y^-1 = f(x) f(y),
on a aussi f(e) = e^-1 = e, donc f est un homomorphisme de groupe (endomorphisme de G),
donc G est abélien si et seulement si l'application f:x ----->x^-1 est un homomorphisme de groupe.

Pour la deuxième question, voici ce que je propose :
a) Supposons que f est un homomorphisme de groupe (endomorphisme de G), donc
qqsoit (x,y) in G^2 : f(xy) = (xy)^2 = xyxy = f(x) f(y) = x^2 y^2, donc xyxy = xxyy, donc yx = xy, donc G est abélien .
b) Supposons maintenant que G est abélien,
donc qqsoit (x,y) in G^2 : f(xy) = (xy)^2 = xyxy = xxyy = x^2 y^2 = f(x) f(y),
on a aussi f(e) = e^2 = e, donc f est un homomorphisme de groupe (endomorphisme de G)
donc G est abélien si et seulement si l'application f:x ----->x^2 est un homomorphisme de groupe.

Je laisse la suite aux autres intervenants.
Merci M.Konan.
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aymanemaysae
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 352
Age : 20
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: Intéressant!!!   Lun 30 Mai 2016, 10:29

Pour f: x-------> x^-1 , on a pour tout y de G , y^-1 in G et y = (y^-1)^-1 = f(y^-1) , donc f est surjective.

Pour f: x-------> x^2 , j'exhibe un contre exemple.
Soit G={-1,1} , donc f(1) = f(-1) = 1 , donc -1 n'a pas d'antécédent, donc f n'est pas surjective.
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abdelbaki.attioui
Administrateur
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Masculin Nombre de messages : 2541
Localisation : maroc
Date d'inscription : 27/11/2005

MessageSujet: Re: Intéressant!!!   Mar 31 Mai 2016, 20:55


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konan
Maître
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Masculin Nombre de messages : 81
Age : 26
Date d'inscription : 13/11/2009

MessageSujet: Re: Intéressant!!!   Jeu 16 Juin 2016, 14:39

Eskun homomorphisme est un endomorphisme ? Un
Homomorphisme est un morphisme. Je pense kon pouvait s'arrêter sans calculer l'image. sinon la démonstration est bonne.
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MessageSujet: Re: Intéressant!!!   

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