equation fonctionnelle

trouver toutes les applications définit de R dans R par:

f(x^4+y)=x^3 f(x)+f(y)
avec x et y dans R.

Bonjour,

Pour x = 1 et y = 0 on a f(1) = f(1) + f(0) , donc f(0) = 0 .

Pour x >= 0 on a f(x+y) = x^(3/4)f(x^(1/4)) + f(y) = f(x) + f(y)
car en prenant y = 0 , on a f(x^4) = x^3 f(x).

Pour x<0 , on a f(-x +(-y)) = f(-x) + f(-y) = f(x+y) = f(x) + f(y)
car on a f(x^4) = x^3 f(x) = f((-x)^(1/4)) = (-x)^3 f(-x) = - x^3 f(-x) ,
donc x^3 f(x) = - x^3 f(-x) donc f(x) = - f(-x) donc f(x) = - f(x) .

donc pour tout x réel on a f(x+y) = f(x) + f(y) : équation fonctionnelle de Cauchy
qui a pour solution la fonction f de R dans R qui a tout x de R a pour image
f(x) = f(1) x .

Bonjour.

Attention aymanemaysae :

sans hypothèse supplémentaire de continuité (ou de monotonie), l'équation de Cauchy  f:IR ---> IR , f(x+y) = f(x) + f(y) pour tous réels x et y

admet bien d'autres solutions que les fonctions linéaires sauf erreur de ma part bien entendu