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 calcul d'une surface

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AuteurMessage
belgacem
Féru


Masculin Nombre de messages : 35
Age : 54
Date d'inscription : 18/06/2012

MessageSujet: calcul d'une surface   Dim 25 Sep 2016, 11:28

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aymanemaysae
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 352
Age : 20
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: calcul d'une surface   Lun 26 Sep 2016, 15:52

Bonjour;

Calculons d'abord l'aire de la partie rouge dans le dessin qui suit :



L'aire du carré UVXW est égale à l'aire du cercle inscrit augmentée de quatre fois l'aire
de la partie rouge ,

donc 100 = 3,14 * 25 + 4 fois l'aire de la partie rouge,
donc l'aire de la partie rouge = 5,375 .

Considérons maintenant le dessin ci-dessous :


Soit le repère d'origine O et d'axes (OC) et l'axe qui lui est perpendiculaire.
Dans ce repère on a : O(0,0) , A(-5,0) , B(5,5) et C(5,0).

Calculons les coordonnées de D.
La droite (AB) a pour équation : y = 1/2 x + 5/2
et le cercle inscrit dans le carré a pour équation : x^2 + y^2 = 25,
et puisque D est un point de rencontre du cercle et de la droite (AB)
donc les coordonnées de D répondent à la condition suivante:
x^2 + (1/2 x + 5/2)^2 = 25 qui donne que x = 3 ou x = -5 .

On a A a pour abscisse -5 , donc l'abscisse de D est 3 , donc son ordonnée est 4,
donc D a pour coordonnées (3,4) .

Soit alpha l'angle que fait (OC) avec (OD) , donc tan(alpha) = 4/3
donc alpha = atan(4/3) = 0,92729522

On a aussi Beta l'angle que fait (AC) avec (AD) ,
donc cos(Beta) = 2/5 racine(5) et sin(Beta) = racine(5)/5 ,

ceci nous permet de calculer AH , AD et OH:
AH = 5 cos(Beta) = 2 racine(5) , AD = 2 AH = 4 racine(5) et OH = 5 sin(Beta) = racine(5) .

On a l'aire du triangle OAD = 1/2 OH AD = 10 ,
l'aire de la partie du cercle comprise entre O , C et D = 25/2 alpha = 11,5911902  ,
l'aire du triangle ACB = 25 ,
donc l'aire de partie comprise entre les points C , D et B = 25 - 11,5911902 - 10 = 3,4088098

donc l'aire totale de la partie rouge de votre dessin est : 3 * 5,375 + 3,4088098 = 19,5338098 qui approche 19,53 .
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calcul d'une surface
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