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 Novembre 2016

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Novembre 2016   Dim 02 Oct 2016, 10:54

Trouver tous les nombres entiers positifs n tels que pour tout entier positif a relativement premier à n, 2n² divise a^n-1.

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kalm
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MessageSujet: Re: Novembre 2016   Jeu 03 Nov 2016, 16:44

-Si n est impair, on peut prendre a=2, donc 2n²|2^n-1 ce qui est absurde. Donc n est pair et les a doivent être impairs.
-Pour n=2, ca marche.
-Pour n=2^m*q >2 avec q impair et m>0 la valuation de 2 adique de n.
-si m=1, alors 8q²| a^2q -1 pour pgcd(a,n)=1 <=> pgcd(a,q)=1 <=> a £ (Z/nZ)* , donc a est d'ordre 2q dans (Z/8q²Z)* pour tt a tq pgcd(a,q)=1. or 4|phi(8q²) alors il existe b d'ordre 4 dans (Z/8q²Z)* et pour a=b on a b^2q=1 dans (Z/8q²Z)* ce qui est absurde vu que pgcd(4,2q)=2<4.
- si m>1, alors 2^(2m+1)q | a^(2^m*q) -1, donc a est d'ordre 2^m*q dans (Z/2^(2m+1)Z)* pour tt a ! Ceci dit que tt les a sont d'ordre 2^m vu que pgcd(2^m,q)=1, or ceci n'est possible que dans le cas où m=1 car (Z/2^8Z)* ~ (Z/2Z)^2 ( tt les éléments de (Z/2^8Z)* sont d'ordre 2) mais pour m>1 on a des éléments de (Z/2^(2m+1)Z)* qui ne sont pas d'ordre 2^m.

Conclusion: n=2
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