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 Décembre 2016

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Décembre 2016   Dim 02 Oct 2016, 11:01

Trouver toutes les fonctions  f : IN  → IN telles que

f(mn) = f(m)f(n) et m + n | f(m) + f(n) ,  pour tous  m, n ∈ IN

_________________
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kalm
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MessageSujet: Re: Décembre 2016   Lun 07 Nov 2016, 10:51

On a f(1)=1 et f(0)=0. De plus, m | f(m) qlq m>0. Comme f est multiplicative, il suffit de trouver f(p) pour tt nombre premier. Soit p premier, on a p |f(p), donc f(p)=p^n*L avec L premier avec p.
On a alors p^k+1 | p^(nk)L^k+1 qlq k>0, donc p^k+1 | (-1)^nL^k+1 qlq k>0.
-Si n est pair, alors p^k+1 | L^k+1 qlq k>0, on a du coup L+1=u(p+1) et L²+1=v(p²+1) avec u,v>1 car pgcd(p,L)=1. En jouant avec ces deux égalités on trouve (v-u²)p²+2(u-u²)p+v+2u-2-u²=0, donc p est solution de cette equation du second degré, donc sont delta=-u²-v²-2uv+u²v+2v >=0 ce qui donne (u+v)²+2(1-u)²v<=0 ce qui est absurde.
Donc n est impair, ce qui implique p^k+1 | L^k-1 qlq k>0. On utilise la même technique et on trouve L=1. Donc f(p)=p^n avec n impair.
D'ou qlq k, f(k)=k^n avec n impair.
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