AUB=R²

Montrer que si A ouvert non vide de R² et AUB fermé avec B fini alors AUB=R²

On peut supposer A et B sans intersection. On suppose AUB strictement inclu dans R².
AUB est fermé => adh(AUB)=adh(A)UB=AUB => adh(A)=A => fermé, or il est ouvert et R² connexe alors A=R² car A non vide, ce qui est absurde.

adh(A)UB=AUB => adh(A)=A Cette implication n'est pas vrai en général
Exemple A=R²\ B où B={(0,0)}

Désolé pour l'erreur dans le bricolage que j'ai proposé. Mais voici un autre bricolage.

On note X=AUB fermé, tel que X\B ouvert. On suppose X#R². soit x£ B, comme B est fini, on a l'existence d'une suite (x_n)£ (X\B)^IN telle que lim x_n =x. donc par ouverture qlq n il existe un voisinage V_n de x_n dans X\B. On pose W_n=V_1U...UV_n, la suite (W_n) est croissante incluse dans X\B, on note alors W=limsup W_n qui reste dans X\B, donc x n'appartient pas à W, ce qui veut dire que si d_n=d(x,W_n) alors lim d_n=d>0 (cette limite existe car (d_n) est décroissante minorée). Or x_n tend vers x alors qlq espilon>0, il existe N tq qlq n>N x_n £ B(x,epsilon), donc qlq espilon>0, il existe N tq qlq n>N d_n <epsilon, donc lim d_n =d=0, ce qui est absurde.

kalm a écrit:

Désolé pour l'erreur dans le bricolage que j'ai proposé. Mais voici un autre bricolage.

On note X=AUB fermé, tel que X\B ouvert. On suppose X#R². soit x£ B, comme B est fini, on a l'existence d'une suite (x_n)£ (X\B)^IN telle que lim x_n =x. donc par ouverture qlq n il existe un voisinage V_n de x_n dans X\B. On pose W_n=V_1U...UV_n, la suite (W_n) est croissante incluse dans X\B, on note alors W=limsup W_n qui reste dans X\B, donc x n'appartient pas à W, ce qui veut dire que si d_n=d(x,W_n) alors lim d_n=d>0 (cette limite existe car (d_n) est décroissante minorée). Or x_n tend vers x alors qlq espilon>0, il existe N tq qlq n>N x_n £ B(x,epsilon), donc qlq espilon>0, il existe N tq qlq n>N d_n <epsilon, donc lim d_n =d=0, ce qui est absurde.

Les rouges ne sont pas clairs. Mais l'idée est bonne

Voici une autre preuve dont la clé est
"Le plan R² privé d'un nombre fini de points est connexe par arcs."

Soit x£ R²,
Si x £ R²\B, il existe une application f:[0,1]-->R² continue  telle que f(0)=x et f[0,1]cR²\B. Mais , f^(-1)(A)=f^(-1)(AUB) ouvert ,fermé de [0,1]  et non vide alors f^(-1)(A)=[0,1] donc x=f(0)£ A. D'où le résultat.

abdelbaki.attioui a écrit:

kalm a écrit:

Désolé pour l'erreur dans le bricolage que j'ai proposé. Mais voici un autre bricolage.

On note X=AUB fermé, tel que X\B ouvert. On suppose X#R². soit x£ B, comme B est fini, on a l'existence d'une suite (x_n)£ (X\B)^IN telle que lim x_n =x. donc par ouverture qlq n il existe un voisinage V_n de x_n dans X\B. On pose W_n=V_1U...UV_n, la suite (W_n) est croissante incluse dans X\B, on note alors W=limsup W_n qui reste dans X\B, donc x n'appartient pas à W, ce qui veut dire que si d_n=d(x,W_n) alors lim d_n=d>0 (cette limite existe car (d_n) est décroissante minorée). Or x_n tend vers x alors qlq espilon>0, il existe N tq qlq n>N x_n £ B(x,epsilon), donc qlq espilon>0, il existe N tq qlq n>N d_n <epsilon, donc lim d_n =d=0, ce qui est absurde.

Les rouges ne sont pas clairs. Mais l'idée est bonne

Voici une autre preuve dont la clé est
"Le plan R² privé d'un nombre fini de points est connexe par arcs."

Soit x£ R²,
Si x £ R²\B, il existe une application f:[0,1]-->R² continue  telle que f(0)=x et f[0,1]cR²\B. Mais , f^(-1)(A)=f^(-1)(AUB) ouvert ,fermé de [0,1]  et non vide alors f^(-1)(A)=[0,1] donc x=f(0)£ A. D'où le résultat.

- Pour X\B ouvert, en fait il suffit de supposer B disjoint de A, alors A=X\B qui est ouvert.
- Comme x est dans B, et W est dans X\B, alors forcément x n'appartient pas a W.

Concernant ta solution, je la trouve très belle ! j'ai sentis un lien avec la connexité mais je n'ai pas réussi à le "décodé".