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 belle équation !

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AuteurMessage
belgacem
Féru


Masculin Nombre de messages : 40
Age : 55
Date d'inscription : 18/06/2012

MessageSujet: belle équation !   Jeu 01 Déc 2016, 17:45

Résoudre dans R l'équation suivante :
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aymanemaysae
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 361
Age : 21
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: belle équation !   Ven 02 Déc 2016, 14:19

Bonjour ;

Soit la fonction f telle que f(x)=(x+41)^(1/4)+(41-x)^(1/4)-4 pour tout x de [-41;41] .

On a f(-x)=f(x) donc f est paire et on peut restreindre l'étude sur [0;41] .

f est continue sur [0;41] et dérivable sur [0;41[ avec comme dérivée f' telle

que f'(x)= 1/4((x+41)^(-3/4)-(41-x)^(-3/4)) .

Etudions le signe de f' sur [0;41[ .

On a 0=<x<41==>41=<41+x<82 et 0<41-x=<41 n donc 0<41-x=<41+x<82

donc 1/82<1/(41+x)=<1/(41-x) donc (1/82)^(3/4)<(1/(41+x))^(3/4)=<(1/(41-x))^(3/4)

donc 82^(-3/4)<(41+x)^(-3/4)=<(41-x)^(-3/4) donc (41+x)^(-3/4)-(41-x)^(-3/4)=<0

donc f'(x)=<0 pour tout x de [0;41[ .

On a f'(x)=0 pour x=0 donc pour tout x de ]0;41[ on a f'(x)<0 ,

donc sur ]0;41[ f est strictement décroissante .

f est continue et strictement décroissante sur ]0;41[ donc elle y est bijective .

On a f(0)=1,06 et f(41)=-0,99 , donc admet un et un seul xo de [0;41] telle que f(xo)=0 .

Comme on a f(x)=(x+41)^(1/4)+(41-x)^(1/4)-4 on remarque pour x=40 on a :

x+41=81=3^4 et 41-x=1 donc (x+41)^(1/4)+(41-x)^(1/4)-4=3+1-4=0 donc 40 est le xo cherché et il est unique sur [0;41] .

Comme f est paire on aura x1=-40 tel f(x1)=f(-40)=0 ,

donc l'ensemble des solutions de l'équation est : {-40;40} .
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belle équation !
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