Groupes Abéliens CNS

Bonjour,
Soit G un groupe fini. Montrer que la probabilité que 2 éléments de G pris au hasard
commutent est soit égale à 1, soit majorée par 5/8.

Si G est commutatif alors c'est 1. Soit H l'ensemble des couples de G qui commutent.
Sinon, soit (x,y) un couple qui commute. Alors si x£ Z(G), dans ce cas on a |G| possibilités pour y, par suite |Z(G)||G| pour ce genre de couples. Si x£G\Z(G), alors y£Fix(x) le fixateur de x sous l'action de conjugaison de G sur lui même, donc on a sum_(x£G\Z(G))|Fix(x)| possibilités pour ce genre de couples. Donc |H|=<|Z(G)||G|+sum_(x£G\Z(G))|Fix(x)|

D'autre part, G n'est pas commutatif, donc G/Z(G) n'est pas cyclique, donc de cardinal au moins 4. donc |Z(G)|=<|G|/4. De plus, Fix(x) est un sous groupe stricte de G, alors G/Fix(x) est de cardinal supérieur à 2, donc |Fix(x)|=<|G|/2. En combinant tt ca on aura |H|=<5/8|G|² ce qui achève la démo.