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 Démostration trigonométrique

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AuteurMessage
belgacem
Féru


Masculin Nombre de messages : 40
Age : 55
Date d'inscription : 18/06/2012

MessageSujet: Démostration trigonométrique   Ven 31 Mar 2017, 20:16

démontrez :
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aymanemaysae
Expert grade2


Masculin Nombre de messages : 361
Age : 21
Date d'inscription : 22/01/2014

MessageSujet: Re: Démostration trigonométrique   Lun 03 Avr 2017, 16:12

Bonjour ;

Tout d'abord il faut préciser que alpha , Beta et Gamma sont les angles d'un triangle quelconque , donc que : alpha + Beta + Gamma = pi .

On a : cos(alpha) + cos(Beta) + cos(Gamma) =< 3/2

<==> 2 cos(alpha) + 2 cos(Beta) + 2 cos(Gamma) - 3 =< 0

<==> 3 - 2 cos(alpha) - 2 cos(Beta) - 2 cos(Gamma) >= 0

<==> 3 - 2 cos(pi -Beta - Gamma) - 2 cos(Beta) - 2 cos(Gamma) >= 0

<==> 1 + cos²(Beta) + sin²(Beta) + cos²(Gamma) + sin²(Gamma)
+ 2 cos(Beta + Gamma) - 2 cos(Beta) - 2 cos(Gamma) >= 0

<==> 1 + cos²(Beta) + sin²(Beta) + cos²(Gamma) + sin²(Gamma)
+ 2 cos(Beta)cos(Beta) - 2 sin(Beta)sin(Gamma) - 2 cos(Beta) - 2 cos(Gamma) >= 0

<==> 1 + (cos²(Beta) + 2 cos(Beta)cos(Gamma) + cos²(Gamma))
+ (sin²(Beta) - 2 sin(Beta)sin(Gamma) + sin²(Gamma)) - 2 cos(Beta) - 2 cos(Gamma) >= 0

<==> 1 + (cos(Beta) + cos(Gamma))² - 2 (cos(Beta) + cos(Gamma))
+ (sin(Beta) - sin(Gamma))² >= 0

<==> (1 - (cos(Beta) + cos(Gamma))² + (sin(Beta) - sin(Gamma))² >= 0 : expression valide

donc l'expression cos(alpha) + cos(Beta) + cos(Gamma) =< 3/2 est aussi valide .

Remarque : Pour un certain domaine de alpha , Beta et Gamma , on aurait pu utiliser l'inégalité de Jensen . Je laisse la deuxième inégalité pour un autre visiteur .
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